热门试卷

五个钠原子所在位置的坐标分别是，，，，．

把图中的钠原子分成下、中、上三层来写它们所在位置的坐标．

下层的原子全部在平面上，它们所在位置的竖坐标全是０，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是，，，，；

中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为１，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是，，，；

上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是，，，，．

．

解：（1）∵，，，且．

∴，                                      ……（2分）

即，又，                           ……（5分）

（2） ，             ……（7分）

又由余弦定理得：            ……（10分）

，故．                                     ……（12分）

（1）见解析（2）

设AB＝a，PA＝b，如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(a，0，0)，P(0，0，b)，C(2a，2a，0)，D(0，2a，0)，E.

(1)证明：＝，＝(0，2a，0)，＝(0，0，b)，所以＝＋，又BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，AP⊂平面PAD，故BE∥平面PAD.

(2)∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即·＝0，

＝(2a，2a，－b)，∴·＝2a2－＝0，即b＝2a.

在平面BDE和平面BDC中，＝(0，a，a)，＝(－a，2a，0)，＝(a，2a，0)，

所以平面BDE的一个法向量为n1＝(2，1，－1)，平面BDC的一个法向量为n2＝(0，0，1)．

cos〈n1，n2〉＝－，所以平面EBD与平面BDC夹角的余弦值为.

（Ⅰ）（Ⅱ） 

试题分析：（Ⅰ）D在平面yoz上，可知横坐标为0，再由过D点作DH⊥BC，垂足为H.可知中坐标为OH，竖坐标为DH.

（Ⅱ）由向量的数量积可得.

试题解析：（Ⅰ）在平面yoz上，过D点作DH⊥BC，垂足为H.

在△BDC中，由∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，

得，

（Ⅱ）由得

由题设知：B（0，－1，0），C（0，1，0），

，，

及向量数量积的夹角公式.

（1）详见解析；（2）详见解析；(3)

试题分析：在空间中直线、平面的平行和垂直关系的判定，求空间中的角，可以用相关定义和定理解决，如(1)中，易证，，所以，，但有些位置关系很难转化，特别求空间中的角，很难找到直线在平面内的射影，很难作出二面角，这时空间向量便可大显身手，如果图形便于建立空间直角坐标系，则更为方便，本题就是建立空间直角坐标系，写出各点坐标（1）计算即可；(2)设，再由，解出，即可找出点；(3)用待定系数法求出件可求出平面的法向量，再求出平面的法向量与向量平面的夹角的余弦，从而得到结果.

试题解析：以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图)，设，则，，，，，，．

(1)因为，所以.       4分

(2)设，则平面，，

，所以，

，所以

∴点坐标为，即点为的中点．         8分

(3)设平面的法向量为．

由得，即，

取，则，，得．

，

所以，与平面所成角的正弦值的大小为      13分

解：(Ⅰ)三棱锥的表面积为；

(Ⅱ) 三棱锥的高为；

(Ⅲ) 球的半径

略

（1） （2） 3

（I）由题意知

（II）

最大，其最大值为3.

(1)见解析；(2)直线E与平面BP所成角的大小为.

试题分析：(1)为计算上的便利，不妨设正三角形ABC的边长为3,

利用已知条件首先得到△ADF是正三角形.再推出EF⊥AD,∠EB为二面角EFB的平面角,根据二面角EFB为直二面角,得到E⊥BE.

又∵BE∩EF=E,∴E⊥平面BEF,即E⊥平面BEP.

(2)建立空间直角坐标系,利用“空间向量方法”求角.

试题解析： (1)不妨设正三角形ABC的边长为3,

则在图(1)中,取BE的中点D,连接DF,

∵===,∴FA=AD=2.又∠A=60°,

则△ADF是正三角形.又AE=ED=1,∴EF⊥AD,

∴在图(2)中有E⊥EF,BE⊥EF,∴∠EB为二面角EFB的平面角,

∵二面角EFB为直二面角,∴E⊥BE.

又∵BE∩EF=E,∴E⊥平面BEF,即E⊥平面BEP.

(2)由(1)可知E⊥平面BEP,BE⊥EF,建立如图所示的空间直角坐标系,

则E(0,0,0),  (0,0,1),B(2,0,0).连接DP,由(1)知EF

(1)见解析   (2)

(1)根据题意,在△AOC中,AC=a=2,AO=CO=,

所以AC2=AO2+CO2,所以AO⊥CO.

又AO⊥BD,BD∩CO=O,

所以AO⊥平面BCD.

(2)方法一:由(1)知,CO⊥OD,以O为原点,OC,OD所在的直线分别为x轴、y轴建立如图的空间直角坐标系Oxyz,

则有O(0,0,0),D(0,,0),

C(,0,0),B(0,-,0).

设A(x0,0,z0)(x0<0),

则=(x0,0,z0),=(0,,0).

平面ABD的一个法向量为n=(z0,0,-x0).

平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),且二面角A-BD-C的大小为120°,

所以|cos|=|cos120°|=,得=3.

因为OA=,所以=.解得x0=-,z0=.所以A(-,0,).

平面ABC的一个法向量为l=(1,-1,).

设二面角A-BC-D的平面角为θ,

所以cosθ=|cos|=||=.

所以tanθ=.

所以二面角A-BC-D的正切值为.

方法二:折叠后,BD⊥AO,BD⊥CO.所以∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=120°.在△AOC中,AO=CO=,所以AC=.

如图,过点A作CO的垂线交CO延长线于点H,

因为BD⊥CO,BD⊥AO,且CO∩AO=O,所以BD⊥平面AOC.因为AH⊂平面AOC,所以BD⊥AH.

又CO⊥AH,且CO∩BD=O,所以AH⊥平面BCD.所以AH⊥BC.过点A作AK⊥BC,垂足为K,连接HK,因为BC⊥AH,AK∩AH=A,所以BC⊥平面AHK.因为HK⊂平面AHK,所以BC⊥HK.所以∠AKH为二面角A-BC-D的平面角.

在△AOH中,得AH=,OH=,所以CH=CO+OH=+=.

在Rt△CHK中,HK==,

在Rt△AHK中,tan∠AKH===.

所以二面角A-BC-D的正切值为.