热门试卷

①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.

⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.

本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.

(1)见解析   (2)

解：(1)证明：取BD的中点F，连接EF，AF，

则AF＝1，EF＝，∠AFE＝60°.

由余弦定理知

AE＝＝.

∵AE2＋EF2＝AF2，∴AE⊥EF.

∵AB＝AD，F为BD中点．∴BD⊥AF.

又BD＝2，DC＝1，BC＝，

∴BD2＋DC2＝BC2，

即BD⊥CD.

又E为BC中点，EF∥CD，∴BD⊥EF.

又EF∩AF＝F，

∴BD⊥平面AEF.又BD⊥AE，

∵BD∩EF＝F，

∴AE⊥平面BDC.

(2)以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A，

C，

B，

D，＝(2,0,0)，

＝，＝.

设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，

由得

取z＝，

则y＝－3，又∵n＝(0，－3，)．

∴cos〈n，〉＝＝－.

故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为.

（1）见解析；（2）。

试题分析：（1）取DE中点G，连接FG,AG，平面，只需证平面AFG∥平面CBD，又平面，平面，故只需证∥平面CBD，∥平面CBD即可；

（2）要求平面与平面所成锐角的余弦值，需找两平面的法向量，取中点为H，连接DH，可证， 故以中点H为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知是平面的一个法向量，由可得平面的一个法向量为，然后由空间两向量夹角公式去求平面与平面所成锐角的余弦值。         

试题解析：（1）证明：取DE中点G，连接FG,AG，CG.因为 CFDG,所以FG∥CD.因为 CGAB, ,

所以AG∥BC.所以平面AFG∥平面CBD， 所以 AF∥平面CBD.   

（2）解: 取中点为H，连接DH.,，

.，.

以中点H为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以的中点坐标为因为，所以易知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为

由  

令则，，

,

所以面与面所成角的余弦值为.

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）由已知条件平面得到，再由已知条件得到，从而得到平面，进而得到，利用等腰三角形三线合一得到，结合直线与平面垂直的判定定理得到平面，于是得到，结合题中已知条件以及直线与平面垂直的判定定理得到平面；（2）以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角 的余弦值.

（1）证明：底面，，又易知，

平面，，

又，是的中点，，

平面，，

又已知，

平面；

（2）如下图以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由于，

可设，则，，，，，

，，

设平面的一个法向量，

则，即，

可得，

由（1）可知为面的法向量，

易求

，

二面角的余弦值是.

(1)详见解析;(2)．

试题分析：（1）连结BD交AC于O，取PF中点G，连结OF，BG，EG，利用EO，EG分别为BG，FC的中位线，得到它们对应平行，进而得到平面BEG与平面ACF平行，再由面面平行的性质得到线面平行．

（2）要求线面角，需要先找到线面角的代表角，即过C点做面PAD的垂线，因为PA垂直于底面，所以过C作线段AD的垂线与AD交于H，则CH垂直于面PAD，所以角CPH即为线面角的代表角，要求该角的正弦值，就需要求出PC与CH，可以利用△PAC和△ACH为直角三角形通过勾股定理求出，进而得到线面角的正弦值．

解：（1）证明1：连接BD交AC于点O，取中点，连接、、．

因为、分别是、的中点， 所以，      

又         ，所以             2分

因为、分别是、的中点，

所以，同理可得        4分

又 所以，平面平面．

又因为平面，故平面．      6分

证明2：作AH垂直BC交BC于H

建立如图的空间直角坐标系O-XYZ，

令AD=PA=2,则AB=1

所以

为中点， 所以     2分

设面AFC的一个法向量，又

由,

所以 

令      4分

所以

所以  故平面．                              6分

（2）解1：因为，，所以．

过C作AD的垂线，垂足为H，则，，所以平面PAD．

故为PC与平面PAD所成的角．                  9分

设，则，，，

所以，即为所求．                 12分

解2：作AH垂直BC交BC于H，建立如图的空间直角坐标系O-XYZ，

令AD=PA=2,则AB=1,所以          8分

因为,所以面PCD的一个法向量为       10分

令PC与平面PAD所成的角为，则

故PC与平面PAD所成角的正弦值为．    12分．

(1)见解析   (2)

解：(1)证明：由已知得，BE∥AF，BC∥AD，BE∩BC＝B，AD∩AF＝A，

∴平面BCE∥平面ADF.

设平面DFC∩平面BCE＝l，则l过点C.

∵平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE＝l，

平面DFC∩平面ADF＝DF.

∴DF∥l，即在平面BCE上一定存在过点C的直线l，使得DF∥l.

(2)∵FA⊥AB，FA⊥CD，AB与CD相交，

∴FA⊥平面ABCD.

故以A为原点，AD，AB，AF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．由已知得，D(1,0,0)，C(2,2,0)，F(0,0,2)，

∴＝(－1,0,2)，＝(1,2,0)．

设平面DFC的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则⇒不妨设z＝1.

则n＝(2，－1,1)，不妨设平面ACD的一个法向量为m＝(0,0,1)．

∴cos〈m，n〉＝＝＝，

由于二面角F­CD­A为锐角，

∴二面角F­CD­A的余弦值为.

(1)见解析   (2)    (3) 见解析

解：(1)证明：因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，所以AA1⊥平面ABC.

(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.

由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，

所以AB⊥AC.

如图，以A为原点建立空间直角坐标系A­xyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，

＝(0,3，－4)，＝(4,0,0)．

设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．

同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m＝(3,4,0)．

所以cos〈 n，m〉＝＝.

由题知二面角A1­BC1­B1为锐角，

所以二面角A1­BC1­B1的余弦值为.

(3)证明：设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且＝λ.

所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)．

解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.

所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．

由·＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝.

因为∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，

使得AD⊥A1B.此时，＝λ＝.

(1)    (2)见解析

解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2a,0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(a,0,0)，B1(a，a，a)，C1(0，a，a)．

(1)∵＝(－a，a，a)，＝(0,0，a)，

∴cos〈，〉＝＝，

所以异面直线AB1与DD1所成角的余弦值为.

(2)证明：∵＝(－a，－a，a)，

＝(－2a,0,0)，＝(0，a，a)，

∴∴FB1⊥BB1，FB1⊥BC.

∵BB1∩BC＝B，∴FB1⊥平面BCC1B1.

（1）详见试题分析；（2）直线与平面所成角的正弦值为；（3）．

试题分析：（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明。也可以利用综合法：要证，由于是异面直线，可将问题转化为证明线面垂直。由于点为棱的中点，可以先取中点，连结，从而可证得。由线面垂直的判定定理易证平面，从而，最后证得；（2）向量法：先求平面的法向量，然后利用公式求直线与平面所成角的正弦值．综合法：在（1）的基础上，可先证明为直线与平面所成的角，在直角三角形中，利用锐角三角函数即可求得直线与平面所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面和平面的法向量，再利用公式来求二面角的余弦值．综合法：先利用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角，再利用解三角形的有关知识求其余弦值．

试题解析：（方法一）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，，．由为棱的中点，得．

（1）向量，，故． ∴．

（2）向量，．设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量．于是有，∴直线与平面所成角的正弦值为．

（3）向量，，，．由点在棱上，设，，故，由，得，因此，，解得，即．设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量．取平面的法向量，则．易知，二面角是锐角，∴其余弦值为．

（方法二）（1）如图，取中点，连结，．由于分别为的中点，故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，∴．

∵，故，而，从而，∵平面，于是，又，∴．

（2）连结，由（1）有，得，而，故．又∵，为的中点，故，可得，∴，故．∴直线在平面内的射影为直线，而，可得为锐角，故为直线与平面所成的角．依题意，有，而为中点，可得，进而．故在直角三角形中，，因此，∴直线与平面所成角的正弦值为．

（3）如图，在中，过点作交于点．∵，故，从而．又，得，因此．在底面内，

可得，从而．在平面内，作交于点，于是．由于，故，∴四点共面．由， ，得，故，∴为二面角的平面角．在中，，，，由余弦定理可得，．∴二面角的斜率值为．

（1）详见解析；（2）2.

试题分析：（1）利用正方形的性质，证明，利用线面平行的判定定理证明平面，再用线面平行的性质定理证明；（2）由条件底面，证明，，

建立空间直角坐标系，利用向量法求解，先求平面的法向量，利用公式，求直线与平面所成的角，再设点，因为点在棱上，所以可设，利用向量的坐标运算，求的值，最后用空间中两点间的距离公式求.

（1）在正方形中，因为是的中点，所以，

因为平面，所以平面，

因为平面，且平面平面，

所以.

（2）因为底面，所以，，

如图建立空间直角坐标系，则，，，

，设平面的法向量为，

则，即，令，则，所以，

设直线与平面所成的角为，则，

因此直线与平面所成的角为，

设点，因为点在棱上，所以可设，

即，所以，

因为向量是平面的法向量，所以，

即，解得，所以点的坐标为，

所以.

（1）见解析   （2）   （3）

解：本题可通过建立空间坐标系求解．

如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．

(1)证明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，∴B1C1⊥CE.

(2)＝(1，－2，－1)．

设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，

则,即

消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)．

由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．

于是cos〈m，〉＝＝＝－，从而sin〈m，〉＝，

故二面角B1－CE－C1的正弦值为.

(3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．

设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．

设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则

sinθ＝|cos〈，〉|＝

＝＝.

于是＝，解得λ＝ (λ＝－舍去)，

∴AM＝.

（1）参考解析；（2）

试题分析：（1）依题意建立空间坐标系，假设点，的坐标，表示相应的线段即可得到所对应的向量，再根据向量的数量积为零，即可得到结论.

（2）由（1）可得平面的法向量为，再用待定系数法求出平面的法向量，根据法向量所夹的锐角的值为.即可得到结论.

（1）如图所示建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，设，

由于，所以，并且，E(1，1，)，           2分

，，，

，

又，

，平面                 6分

（2），

设平面的法向量为，则， 即，令，

则，.          9分

平面，平面的法向量

，即，解得     12分

当时，二面角的大小为.         13分

（1）见解析   （2）

（1）因为, 由余弦定理得 

从而BD2+AD2= AB2，故BD AD;又PD 底面ABCD，可得BD PD

所以BD 平面PAD. 故 PABD

（2）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则

,,,。

设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则,

 即

因此可取n=

设平面PBC的法向量为m，则

可取m=（0，-1，）        

故二面角A-PB-C的余弦值为