- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共150题
请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中,生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。
正确答案
测试
请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中,生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。
正确答案
测试
在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1,记点M的轨迹为C。
(1)求轨迹C的方程;
(2)设斜率为k的直线l过定点P(﹣2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)设M(x,y),依题意得:|MF|=|x|+1,即,
化简得,y2=2|x|+2x。
∴点M的轨迹C的方程为;
(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x(x≥0),C2:y=0(x<0)。
依题意,可设直线l的方程为y﹣1=k(x+2)。
由方程组,可得ky2﹣4y+4(2k+1)=0。
①当k=0时,此时y=1,把y=1代入轨迹C的方程,得。
故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点()。
②当k≠0时,方程ky2﹣4y+4(2k+1)=0的判别式为△=﹣16(2k2+k﹣1)。
设直线l与x轴的交点为(x0,0),
则由y﹣1=k(x+2),取y=0得。
若,解得k<﹣1或k>。
即当k∈时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点。
若或,解得k=﹣1或k=或。
即当k=﹣1或k=时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点。
当时,直线l与C1有两个公共点,与C2无公共点。
故当k=﹣1或k=或时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点。
若,解得﹣1<k<﹣或0<k<。
即当﹣1<k<﹣或0<k<时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点。
此时直线l与C恰有三个公共点。
综上,当k∈∪{0}时,直线l与C恰有一个公共点;
当k∪{﹣1,}时,直线l与C恰有两个公共点;
当k∈时,直线l与轨迹C恰有三个公共点。
知识点
过点C(0,1)的椭圆的离心率为,椭圆与x轴交于两点、,过点C的直线l与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q。
(1)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;
(2)当点P异于点B时,求证:为定值。
正确答案
见解析
解析
(1)由已知得,解得,所以椭圆方程为。
椭圆的右焦点为,此时直线的方程为 ,代入椭圆方程得
,解得,代入直线的方程得 ,所以,
故。
(2)当直线与轴垂直时与题意不符。
设直线的方程为,代入椭圆方程得。
解得,代入直线的方程得,
所以D点的坐标为。
又直线AC的方程为,又直线BD的方程为,联立得
因此,又。
所以。
故为定值。
知识点
在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直线于点.
(1)求的最小值;
(2)若∙,
(i)求证:直线过定点;
(ii)试问点,能否关于轴对称?若能,求出此时的外接圆方程;若不能,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)由题意:设直线,
由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上,所以,即,解得
,所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.
(2)(i)证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且∙,所以,又由(1)知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0)。
(ii)假设点,关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,
由(i)知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为,又因为,所以解得或6,又因为,所以舍去,即,此时k=1,m=1,E,AB的中垂线为2x+2y+1=0,圆心坐标为,G(,圆半径为,圆的方程为.综上所述, 点,关于轴对称,此时的外接圆的方程为.
知识点
已知椭圆的焦距为4,且过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂足为。取点,连接,过点作的垂线交轴于点。点是点关于轴的对称点,作直线,问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)因为椭圆过点
且
椭圆C的方程是
(2)
由题意,各点的坐标如上图所示,
则的直线方程:
化简得
又,
所以带入
求得最后
所以直线与椭圆只有一个公共点。
知识点
在平面直角坐标系中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在轴上,短轴长为2,离心率为
(1)求椭圆C的方程
(2)A,B为椭圆C上满足的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C与点P,设,求实数的值
正确答案
见解析。
解析
知识点
如图,动点与两定点、构成,且直线的斜率之积为4,设动点的轨迹为。
(1)求轨迹的方程;
(2)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围。
正确答案
(1)C的方程为4x2-y2-4=0(x≠1且x≠-1)
(2)
解析
(1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在。
于是x≠1且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.
由题意,有·=4
化简可得,4x2-y2-4=0
故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠1且x≠-1)
(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. (﹡)
对于方程(﹡),其判别式=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0
而当1或-1为方程(*)的根时,m的值为-1或1.
结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1
设Q、R的坐标分别为(XQ,YQ),(XR,YR),则为方程(*)的两根.
因为,所以,
所以。
此时
所以
所以
综上所述,
知识点
已知椭圆C:.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点,若点A在直线,点B在椭圆C上,且,求线段AB长度的最小值.
正确答案
(1)。
(2)长度的最小值为。
解析
(1)由题意,椭圆的标准方程为。
所以,,从而。
因此,,故椭圆的离心率。
(2)设点,的坐标分别为,,其中。
因为,
所以,
即,解得。
又,所以
。
因为,且当时等号成立,所以。
故线段长度的最小值为。
知识点
16.设函数=的最大值为M,最小值为m,则M+m=____
正确答案
2
解析
=,
设==,则是奇函数,
∵最大值为M,最小值为,∴的最大值为M-1,最小值为-1,
∴,=2.
知识点
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