- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共150题
已知为坐标原点,为椭圆:在轴正半轴上的焦点,过且斜率为的直线与交与、两点,点满足.
(1)证明:点在上;
(2)设点关于点的对称点为,证明:、、、四点在同一圆上。
正确答案
见解析。
解析
(1),的方程为,代入并化简得
.
设,
则
由题意得
所以点的坐标为.
经验证点的坐标满足方程,故点在椭圆上 …6分
(2)由和题设知,,的垂直平分线的方程为
. ①
设的中点为,则,的垂直平分线的方程为
. ②
由①、②得、的交点为.
,
,
,
,
,
故 ,
又 , ,
所以 ,
由此知、、、四点在以为圆心,为半径的圆上.
(2)法二:
同理
所以互补,
因此A、P、B、Q四点在同一圆上。
知识点
已知,分别是椭圆的左、右焦点,关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。
(1)求圆的方程;
(2)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,。当最大时,求直线的方程。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)先求圆C关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D,由题知圆D的直径为直线对称.
(2)由(Ⅰ)知(2,0), ,据题可设直线方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线可被圆和椭圆截得2条弦,符合题意.
圆C:到直线的距离。
.
由椭圆的焦半径公式得:
.
所以当
知识点
如图,动圆C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆C2:+y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点。
(1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积;
(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。
正确答案
(1) 时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为6; (2) -y2=1(x<-3,y<0)
解析
(1)设A(x0,y0),则矩形ABCD的面积S=4|x0||y0|。
由+y02=1得y02=1-,从而
x02y02=x02(1-)=。
当,时,Smax=6,从而时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为6。
(2)由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)知
直线AA1的方程为
y=(x+3),①
直线A2B的方程为
y=(x-3),②
由①②得
y2=(x2-9)。③
又点A(x0,y0)在椭圆C上,故
y02=1-。④
将④代入③得-y2=1(x<-3,y<0)。
因此点M的轨迹方程为-y2=1(x<-3,y<0)
知识点
设是圆上的动点是直线上的动点,则的最小值为()
正确答案
解析
∵由圆(x-3)2+(y+1)2=4知,圆心的坐标为(3,-1),半径r=2,
∴圆心到直线x=-3的距离d=|3-(-3)|=6.
∴|PQ|min=d-r=6-2=4,故选B。
知识点
椭圆的左、右焦点分别为,焦距为,若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于()
正确答案
解析
本题考查的是圆锥曲线的离心率,由题意可知,中,,所以有,整理得,故答案为。
知识点
扫码查看完整答案与解析