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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知为坐标原点,为椭圆轴正半轴上的焦点,过且斜率为的直线交与两点,点.

(1)证明:点上;

(2)设点关于点的对称点为,证明:四点在同一圆上。

正确答案

见解析。

解析

(1),的方程为,代入并化简得

.

,

由题意得

所以点的坐标为.

经验证点的坐标满足方程,故点在椭圆上 …6分

(2)由和题设知,的垂直平分线的方程为

.                        ①

的中点为,则,的垂直平分线的方程为

.                       ②

由①、②得的交点为.

,

,

,

,

,

故     ,

又      , ,

所以    ,

由此知四点在以为圆心,为半径的圆上.

(2)法二:

同理

所以互补,

因此A、P、B、Q四点在同一圆上。

知识点

向量在几何中的应用直线与圆锥曲线的综合问题
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知分别是椭圆的左、右焦点关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。

(1)求圆的方程;

(2)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为。当最大时,求直线的方程。

正确答案

(1)      

(2)

解析

(1)先求圆C关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D,由题知圆D的直径为直线对称.

(2)由(Ⅰ)知(2,0), ,据题可设直线方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线可被圆和椭圆截得2条弦,符合题意.

圆C:到直线的距离

.

由椭圆的焦半径公式得:

.

所以当

知识点

圆的标准方程椭圆的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,动圆C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆C2+y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点。

(1)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值?并求出其最大面积;

(2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。

正确答案

(1) 时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为6; (2) -y2=1(x<-3,y<0)

解析

(1)设A(x0,y0),则矩形ABCD的面积S=4|x0||y0|。

+y02=1得y02=1-,从而

x02y02=x02(1-)=

时,Smax=6,从而时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为6。

(2)由A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)知

直线AA1的方程为

y=(x+3),①

直线A2B的方程为

y=(x-3),②

由①②得

y2(x2-9)。③

又点A(x0,y0)在椭圆C上,故

y02=1-。④

将④代入③得-y2=1(x<-3,y<0)。

因此点M的轨迹方程为-y2=1(x<-3,y<0)

知识点

椭圆的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型: 单选题
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单选题 · 5       分

是圆上的动点是直线上的动点,则的最小值为()

A6

B4

C3

D2

正确答案

B

解析

∵由圆(x-3)2+(y+1)2=4知,圆心的坐标为(3,-1),半径r=2,

∴圆心到直线x=-3的距离d=|3-(-3)|=6.

∴|PQ|min=d-r=6-2=4,故选B。

知识点

直线与圆锥曲线的综合问题
1
题型:填空题
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填空题 · 5       分

椭圆的左、右焦点分别为,焦距为,若直线与椭圆的一个交点满足,则该椭圆的离心率等于()

正确答案

解析

本题考查的是圆锥曲线的离心率,由题意可知,中,,所以有,整理得,故答案为

知识点

椭圆的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题
百度题库 > 高考 > 文科数学 > 直线与圆锥曲线的综合问题

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