直线与圆锥曲线的综合问题
共150题

· 直线与圆锥曲线的综合问题

直线与圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题 · 13 分

20．已知椭圆C:的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程

（Ⅱ）若直线L：与椭圆C相交于A、B两点，且

求证：的面积为定值

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

21．如图，已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，直线分别与抛物线交于点

（1）证明的值与无关，并用表示；

（2）记直线的斜率为，证明为定值．

正确答案

证明：（1）依题意，设直线的方程为．

将其代入，消去，整理得．

从而．于是

∴与无关，

又

（2）证明：设，

则．

设直线的方程为，将其代入，消去，

整理得

∴．同理可得．

故．

由（1）知，，∴为定值．

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知识点

直线的倾斜角与斜率抛物线焦点弦的性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题

题型：填空题

填空题 · 4 分

15．过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则的面积为( )。

正确答案

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知识点

椭圆的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知圆:交轴于A,B两点,曲线是以AB为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F,若P是圆上一点,连结PF,过原点作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当点P在圆上运动时（不与A、B重合）,求证:直线PQ与圆相切。

正确答案

解:（Ⅰ）因为,所以c=1,则b=1,

所以椭圆C的标准方程为

（Ⅱ）当点P在圆O上运动时,

设（）,则,

所以,,

所以直线OQ的方程为所以点Q（-2,）

所以,又

所以,即OP⊥PQ,

当，，故直线PQ始终与圆O相切

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 4 分

12. 设分别为双曲线的左、右焦点，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支相交于点，若，则（）.

正确答案

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知识点

双曲线的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题

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