- 直线与圆锥曲线的综合问题
- 共150题
已知椭圆的焦距为2,过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为,O为坐标原点.
(1)求椭圆W的方程.
(2)设斜率为的直线l与W相交于两点,记面积的最大值为,证明:.
正确答案
见解析
解析
(1)解:由题意,得椭圆W的半焦距,右焦点,上顶点,…… 1分
所以直线的斜率为, 解得 ,……………… 3分 由 ,得,
所以椭圆W的方程为.……………… 5分
(2)证明:设直线l的方程为,其中或2,,.… 6分
由方程组 得,……………… 7分 所以 ,(*)由韦达定理,得, . …………… 8分
所以 . …… 9分
因为原点到直线的距离,……………… 10分
所以 , ……………… 11分
当时,因为, 所以当时,的最大值,验证知(*)成立;… 12分
当时,因为,所以当时,的最大值;验证知(*)成立.
所以 .…………… 14分 注:本题中对于任意给定的,的面积的最大值都是.
知识点
已知点在抛物线上,直线R,且与抛物线
相交于两点,直线分别交直线于点.
(1)求的值;
(2)若,求直线的方程;
(3)试判断以线段为直径的圆是否恒过两个定点?若是,求这两个定点的坐标;若
不是,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)解:∵点在抛物线上, ∴.
解法1:(2)由(1)得抛物线的方程为.
设点的坐标分别为,依题意,,
由消去得,
解得.
∴.
直线的斜率,
故直线的方程为.
令,得,∴点的坐标为.
同理可得点的坐标为.
∴
.
∵, ∴.
由,得,
解得, 或,
∴直线的方程为,或.
(3)设线段的中点坐标为,
则
.
而,
∴以线段为直径的圆的方程为.
展开得.
令,得,解得或.
∴以线段为直径的圆恒过两个定点.
解法2:(2)由(1)得抛物线的方程为.
设直线的方程为,点的坐标为,
由解得
∴点的坐标为.
由消去,得,
即,解得或.
∴,.
∴点的坐标为.
同理,设直线的方程为,
则点的坐标为,点的坐标为.
∵点在直线上,
∴.
∴.
又,得,
化简得.
,
∵,
∴.
∴.
由,
得,
解得.
∴直线的方程为,或.
(3)设点是以线段为直径的圆上任意一点,
则,
得,
整理得,.
令,得,解得或.
∴ 以线段为直径的圆恒过两个定点.
知识点
已知当mn取得最小值时,直线与曲线的交点个数为
正确答案
2
解析
略
知识点
在平面直角坐标系中,已知动点,点点与点关于直线对称,且.直线是过点的任意一条直线。
(1)求动点所在曲线的轨迹方程;
(2)设直线与曲线交于两点,且,求直线的方程;
(3)设直线与曲线交于两点,求以的长为直径且经过坐标原点的圆的方程。
正确答案
(1)(2)(3)
解析
(1)依据题意,可得点.
,
又,
.
所求动点的轨迹方程为.
(2) 若直线轴,则可求得,这与已知矛盾,因此满足题意的直线不平行于轴。
设直线的斜率为,则。
由 得。
设点,有 且恒成立(因点在椭圆内部)。
又,
于是,,即,
解得。
所以,所求直线
(3) 当直线轴时,,点到圆心的距离为1.即点在圆外,不满足题意.
满足题意的直线的斜率存在,设为,则.
设点,由(2)知,进一步可求得
依据题意,有,
,
即,解得.
所求圆的半径,
圆心为.
所求圆的方程为:
知识点
已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,),且长轴长与短轴长的比是2:。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点,若当最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点上,求实数m的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)设椭圆的方程为.
由题意有:,
解得.
故椭圆的方程为.
(2)设为椭圆上的动点,由于椭圆方程为,故.
因为,所以
因为当最小时,点恰好落在椭圆的右顶点,即当时,
取得最小值,而,
故有,解得,
又点在椭圆的长轴上,即,
故实数的取值范围是,
知识点
设分别是椭圆的左、右焦点,点在椭圆上,线段
的中点在轴上,若,则椭圆的离心率为
正确答案
解析
略
知识点
如图,已知椭圆:的离心率为,以椭圆的左顶点为圆心作圆:,设圆与椭圆交于点与点。
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值,并求此时圆的方程;
(3)设点是椭圆上异于,的任意一点,且直线分别与轴交于点,为坐标原点,求证:为定值,
正确答案
见解析。
解析
(1)
故椭圆的方程为 ,
(2)点与点关于轴对称,设,, 不妨设。
由于点在椭圆上,所以, (*)
由已知,则,,
。
由于,故当时,取得最小值为。
由(*)式,,故,又点在圆上,代入圆的方程得到,
故圆的方程为:,
(3)
知识点
在平面直角坐标系中,点P到两圆C1与C2的圆心的距离之和等于4,其中C1:,C2:. 设点P的轨迹为。
(1)求C的方程;
(2)设直线与C交于A,B两点,问k为何值时?此时的值是多少?
正确答案
见解析。
解析
(1)由已知得两圆的圆心坐标分别为.
设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,长半轴长为2的椭圆。
它的短半轴长,
故曲线C的方程为。
(2)设,其坐标满足
消去y并整理得,
∵, ,∴,
故。
又
于是。
令,得.
因为,
所以当时,有,即.
当时,,。
,
而,
所以。
知识点
已知是椭圆的左、右焦点,且离心率,若点P为椭圆C上的一个动点,且的最大值为4.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点,在x轴上是否存在点,使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由.
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知双曲线C的两个焦点坐标分别为,双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A,B两点,且M为AB的中点,求直线l的方程.
(3)已知定点G(1,2),点D是双曲线C右支上的动点,求的最小值。
正确答案
见解析。
解析
(1)依题意,得双曲线C的实半轴长为a=1,焦半距为c=2,
所以其虚半轴长,
又其焦点在x轴上,所以双曲线C的标准方程为.
(2)设A、B的坐标分别为、,则
两式相减,得,
因为M(2,1)为AB的中点,所以,
所以,即.
故AB所在直线l的方程为,即.
(3)由已知,得,即,
所以,当且仅当 三点共线时取等号.
因为,
所以,
故的最小值为.
知识点
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