- 轨迹方程的问题
- 共36题
若圆的半径为1,圆心在第一象限,且与直线
和
轴相切,则该圆的标准方程是________.
正确答案
解析
略
知识点
如图,圆与直线
相切于点
,与
正半轴交于点
,与直线
在第一象限的交点为
. 点
为圆
上任一点,且满足
,动点
的轨迹记为曲线
。
(1)求圆的方程及曲线
的轨迹方程;
(2)若直线和
分别交曲线
于点
、
和
、
,求四边形
的周长;
(3)已知曲线为椭圆,写出椭圆
的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标。
正确答案
(1)(
)(2)
(3)
解析
(1)由题意圆的半径
,
故圆的方程为
.
由得,
,
即,得
(
)为曲线
的方程。
(2)由解得:
或
,
所以,A(,
),C(-
,-
)
同理,可求得B(1,1),D(-1,-1)
所以,四边形ABCD的周长为:
(3)曲线的方程为
(
),
它关于直线、
和原点对称,下面证明:
设曲线上任一点的坐标为
,则
,点
关于直线
的对称点为
,显然
,所以点
在曲线
上,故曲线
关于直线
对称,
同理曲线关于直线
和原点对称。
可以求得和直线
的交点坐标为
和直线
的交点坐标为
,
,
,
,
.
在上取点
.
曲线为椭圆:
其焦点坐标为.
知识点
圆心在轴上,半径长是
,且与直线
相切的圆的方程是()。
正确答案
和
解析
略
知识点
已知函数.
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)当时,讨论
的单调性.
正确答案
见解析。
解析
(1)当时,
,
此时, ………………………………2分
,又
,
所以切线方程为:,
整理得:; …………………………
分
(2), ……6分
当时,
,此时,在
,
单调递减,
在,
单调递增; …………………………… 8分
当时,
,
当即
时
在
恒成立,
所以在
单调递减; …………………………………10分
当时,
,此时在
,
单调递减,
在
单调递增; ………………………………12分
综上所述:当时,
在
单调递减,
在
单调递增;
当时,
在
单调递减,
在
单调递增;
当时
在
单调递减. ……………………………………13分
知识点
如图,已知和
是圆的两条弦,过点
作圆的切线与
的延长线相交于
。过点
作
的平行线与圆交于点
,与
相交于点
,
,
,
,则线段
的长为 。
正确答案
解析
由相交弦定理,故
,又
,故
,故
,由切割线定理,
,故
。
知识点
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