- 古典概型
- 共2558题
为了解某校学生数学竞赛的成绩分布，从该校参加数学竞赛的学生成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘成频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高之比为1：2：2：20：5，最右边一组的频数是20，请结合直方图的信息，解答下列问题；
（Ⅰ）样本容量是多少？
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在该样本中抽取30个学生的成绩作进一步调查，问成绩在120分到150分的学生有几个？
（Ⅲ）已知成绩在120分到150分的学生中，至少有5个是男生，求成绩在120分到150分的学生中，男生比女生多的概率．
正确答案
（Ⅰ）设样本容量为n，由题意得
所以样本的容量为120；
（Ⅱ）由小长方形的高之比为1：2：2：20：5，得小长方体的面积之比（频率之比）为1：2：2：20：5，
∴成绩在120分到150分的学生有
×120=80，则分层抽样抽取的比例
∴抽取30个学生应从成绩在120分到150分的学生中抽取
（Ⅲ）设成绩在120分到150分的学生中，男生比女生多的事件记为A，男生数与女生数记为数对（x，y），
则基本事件有：（5，15），（6，14），（7，13），（8，12），（9，11），（10，10），（11，9），
（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），（16，4），（17，3），（18，2），（19，1），（20，0）共16对，
而事件A包含的事件有：（11，9），（12，8），（13，7），（14，6），（15，5），
（16，4），（17，3），（18，2），（19，1），（20，0）共10对．
∴P(A)=
从4名男生甲、乙、丙、丁，三名女生A、B、C中抽出3名同学参加学校组织的数学竟赛，要求男，女生都有同学参加，问：（1）男生甲参加比赛有多少种情况；（2）男生甲参加比赛的概率．
正确答案
（1）由题意知男生甲参加数学竞赛有以下两大类：甲和两名女生参加或甲和一名男生一名女生参加．
若甲和两名女生参加有：甲和AB、甲和AC、甲和BC，共3种情况
若甲和一名男生一名女生参加有：甲和乙A；甲和乙B；甲和乙C；甲和丙A；甲和丙B；甲和丙C；甲和丁A；甲和丁B；甲和丁C，共9种情况
综上所述：男生甲参加共有：3+9=12情况
（2）如果只有1名男生参加时，甲被选出的概率为：P1=
如果2名男生参加时，甲被选出的概率为：P2= 
所以，男生甲参加数学比赛的概率为：P=
某学校共有教职工900人,分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职工人数如表. 已知在全体教职工中随机抽取1名,抽到第二批次中女教职工的概率是0.16
（1）求
（2）现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查, 问应在第三批次中
抽取教职工多少名？
（3）已知
正确答案
解: (1)由
(2)第三批次的人数为
设应在第三批次中抽取
∴应在第三批次中抽取12名. ……………6分
（3）设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为
由（
而事件
∴
略
一个房间有3扇同样的窗子，其中只有一扇窗子是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入这个房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里一次又一次地向着窗户飞去，试图飞出房间. 鸟飞向各扇窗子是随机的.
（1）假定鸟是没有记忆的，若这只鸟恰好在第x次试飞时飞出了房间,求试飞次数x的分布列；
（2）假定这只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次，若这只鸟恰好在第y次试飞时飞出了房间,求试飞次数y的分布列；
正确答案
解：（1）试飞次数x的分布列如下：
……………………………………………………………………………7分
（2）
略
．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n，向量
正确答案
略
（2w13•广东）从一批苹果中，随机抽取5we，其重量（单位：克）的频数分布表如下：
（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[0w，05）的频率；
（2）用分层抽样的方法从重量在[8w，85）和[05，1ww）的苹果中共抽取4e，其中重量在[8w，85）的有几e？
（3）在（2）中抽出的4e苹果中，任取2e，求重量在[8w，85）和[05，1ww）中各有1e的概率．
正确答案
（1）苹果的重量在[90，9图）的频率为
（9）重量在[80，8图）的有4•
（3）设这4个苹果中，重量在[80，8图）段的有1个，编号为1． 重量在[9图，100）段的有3个，编号分别为9、3、4，从中任取两个，可能的情况有：
（1，9）（1，3）（1，4）（9，3）（9，4）（3，4）共6种．
设任取9个，重量在[80，8图）和[9图，100）中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，9）（1，3）（1，4）共3种，
所以她(A)=
一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5，一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．将这个正方体和正四面体同时抛掷一次，正方体正面向上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b．
（Ⅰ）求事件b=3a的概率；
（Ⅱ）求事件“点（a，b）满足a2+（b-5）2≤9”的概率．
正确答案
（Ⅰ）由题可知a的取值为0，1，2，3，4，5，b的取值为6，7，8，9
基本事件空间：Ω={（0，6），（0，7），（0，8），（0，9），（1，6），（1，7），（1，8），（1，9），（2，6），（2，7），（2，8），（2，9），（3，6），（3，7），（3，8），（3，9），（4，6），（4，7），（4，8），（4，9），（5，6），（5，7），（5，8），（5，9）}
共计24个基本事件 …（3分）
满足b=3a的有（2，6），（3，9）共2个基本事件
所以事件b=3a的概率为 
（Ⅱ）设事件B=“点（a，b）满足a2+（b-5）2≤9”
当b=8时，a=0满足a2+（b-5）2≤9
当b=7时，a=0，1，2满足a2+（b-5）2≤9
当b=6时，a=0，1，2满足a2+（b-5）2≤9
所以满足a2+（b-5）2≤9的有（0，6），（0，7），（0，8），（1，6），（1，7），（2，6），（2，7），
所以P(B)=
从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意抽取三个数，其中仅有两个数是连续整数的概率是______．
正确答案
由题意知试验发生包含的事件是从10个数字中选3个数字，共有C103=120种结果，
满足条件的事件是有两个连续整数，
当12两个数字连续时，第三个数字可以取从4开始的后面7个数字，
当23连续时，第三个数字可以取到后面的6个数字，有6种结果，
以此类推共有7+6+6+6+6+6+6+6+7=56种结果，
∴要求的概率是
故答案为：
一个口袋内装有大小相同的6个小球，其中2个红球，记为A1、A2，4个黑球，记为B1、B2、B3、B4，从中一次摸出2个球．
（Ⅰ）写出所有的基本事件；
（Ⅱ）求摸出的两个球颜色不同的概率．
正确答案
（Ⅰ）则从中一次摸出2个球，有如下基本事件：（A1，A2），（A1，B1），
（ A1，B2），（A1，B3），（ A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），
（B1，B2），（B1，B33），（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）
共有15个基本事件 …（5分）
（Ⅱ）从袋中的6个球中任取2个，所取的2球颜色不同的方法有：
（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）共有8种，
故所求事件的概率P=
设随机变量X只能取5、6、7、…、16这12个值，且取每一个值的概率均相等，则P（6＜X≤14）=______．
正确答案
由题意知随机变量ξ只可能取5，6，7，…，16这12个值
∴P（X=n）=
∴P（6＜X≤14）=P（X=7）+P（X=8）+…+P（X=14）=
故答案为：
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