- 圆周角定理
- 共75题
（选做题）
如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F。求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB2=BE·BD-AE·AC。
正确答案
解：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°
又EF⊥AB，∠EFA=90°，
则A，D，E，F四点共圆，
∴∠DEA=∠DFA。
（2）由（1）知，BD·BE=BA·BF，
又△ABC∽△AEF，
∴
即AB·AF=AE·AC
∴BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB（BF-AF）=AB2。
（选做题）
如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．
求证：(1)∠DEA=∠DFA；
(2)AB2=BE·BD-AE·AC。
正确答案
证明：(1)连结AD，因为AB为圆的直径，
所以∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠EFA=90°，
则A、D、E、F四点共圆，
∴∠DEA=∠DFA；
(2)由(1)知，BD·BE=BA·BF，
又△ABC∽△AEF，
∴
∴BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB(BF-AF)=AB2。
如图，△ABC内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，且AB2=AP·AD，
（Ⅰ）求证：AB=AC；
（Ⅱ）如果∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长。
正确答案
（Ⅰ）证明：连接BP，
∵AB2=AP·AD，
∴
又∵∠BAD=∠PAB，
∴△ABD∽△APB，
∴∠ABC=∠APB，
∵∠ACB=∠APB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AB=AC，
∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵P为弧AC的中点，
∴∠ABP=∠PAC=
∴∠BAP=90°，
∴BP是⊙O的直径，∴BP=2，
∴
在Rt△PAB中，由勾股定理得
∴
AB为圆O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB=3，CD=1，则sin∠APD=（ ）。
正确答案
（选做题）
如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为弧的中点，连结AG分别交⊙O、BD于点E、F，连结CE，
（Ⅰ）求证：AC为⊙O的直径。
（Ⅱ）求证：AG·EF=CE·GD。
正确答案
证明：（Ⅰ）连结DG，AB，
∵AD为⊙M的直径，
∴
在⊙O中，
∴AC为⊙O的直径。
（Ⅱ）∵
∴
∵点G为弧BD的中点，
∴
在⊙O中，
∴△AGD∽△ECF，
∴AG·EF=CE·GD。
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