- 动点的轨迹方程
- 共573题
已知线段AB的端点A的坐标为（4，3），端点B是圆x2+y2=4上的动点，求线段AB中点M的轨迹方程，并说明它是什么图形．
正确答案
设线段AB中点为M（x，y），B（m，n），则m=2x-4，n=2y-3
∵端点A在圆x2+y2=4上运动，
∴m2+n2=4
∴（2x-4）2+（2y-3）2=4
∴（x-2）2+（y-
∴线段AB中点M的轨迹是以（2，
已知点P是圆x2+y2=16上一个动点，点A是x轴上的定点，坐标是（12，0），当点P在圆上运动时，求线段PA的中点M的轨迹方程．
正确答案
设M（x，y）则P（2x-12，2y）
∵P在圆上运动
∴（2x-12）2+（2y）2=16 即（x-6）2+y2=4
∴线段PA的中点M的轨迹方程为（x-6）2+y2=4
已知F1，F2分别为椭圆
（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F1作直线交曲线C于两个不同的点P和Q，设=λ，若λ∈[2，3]，求
正确答案
（Ⅰ）设M（x，y），则D（-1，y），由中垂线的性质知|MD|=|MF2|
∴|x+1|=
（另：由|MD|=|MF2|知曲线C是以x轴为对称轴，以F2为焦点，以l1为准线的抛物线
所以，
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由
又由P（x1，y1），Q（x2，y2）在曲线C上知
由①②解得
所以有x1x2=1，y1y2=4（8分）
设u=λ+
得
所以，
已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都等于1，
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点M（-1，0）的直线与曲线C有两个交点A，B，且FA⊥FB，求直线l的斜率．
正确答案
（1）设p（x，y）是曲线C上任意一点，
因为C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都等于1，
所以点p（x，y）满足
化简得：y2=4x（x＞0）；
（2）设直线与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
设直线l的方程为x=ty-1
由
得
由FA⊥FB，得
又
所以
即x1x2-（x1+x2）+1+y1y2=0②
又x=
把①式代入③，整理得4t2=8，t=±
满足△=16（t2-1）＞0．
∴直线l的斜率为±
已知曲线C的方程为x2+ay2=1（a∈R）．
（1）讨论曲线C所表示的轨迹形状；
（2）若a≠-1时，直线y=x-1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|=
正确答案
（1）当a＜0时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线；…（1分）
当a=0时，曲线C的轨迹是两条平行的直线x=1和x=-1；…（1分）
当0＜a＜1时，曲线C的轨迹是焦点在y轴上的椭圆； …（1分）
当a=1时，曲线C的轨迹是圆 x2+y2=1； …（1分）
当a＞1时，曲线C的轨迹是焦点在x轴上的椭圆． …（1分）
（2）由
因为a≠-1，所以方程①为一元二次方程，△=4a2-4（a+1）（a-1）=4＞0，所以直线l与曲线C必有两个交点． …（1分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1，x2为方程①的两根，所以x1+x2=
所以|MN|=
所以a2+2a-3=0，解得a=1或a=-3． …（2分）
因此曲线C的方程为x2+y2=1或x2-3y2=1． …（1分）
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