热门试卷

（I）设P（x，y）．

由已知=(x，y+2)，=(0，4)，=(-x，2-y)，

•=4y+8.

||•||=4（3分）

∵•=||•||

∴4y+8=4整理，得x2=8y

即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x2=8y．（6分）

（II）由已知N（0，2）．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由=λ

即得（-x1，2-y1）=λ（x2，y2-2）

将（1）式两边平方并把x12=8y1，x22=8y2代入得y1=λ2y2（3分）

解（2）、（3）式得y1=2λ，y2=，

且有x1x2=-λx22=-8λy2=-16．（8分）

抛物线方程为y=x2，求导得y′=x．

所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是

y=x1(x-x1)+y1，y=x2(x-x2)+y2，

即y=x1x-，y=x2x-

解出两条切线的交点Q的坐标为(，)=(，-2)（11分）

所以•=(，-4)•(x2-x1，y1-y2)

=(-)-4(-)=0

所以•为定值，其值为0．（13分）

设直线L的方程为y=kx+b．A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），

由得A（，），（k≠1）

由得B（，），

∴

由①②得：k=，b=  ③

∵圆C与y=±x都相切

∴圆C的半径r=．

∵AB：kx-y+b=0与圆C相切，

∴=，即2k2+4kb+b2-=0  ④

将③代入④（y2-x2）+4x（y2-x2）-2（y2-x2）=0

∵y2≠x2，∴y2-x2+4x-2=0即（x-2）2-y2=2．（y≠0）

当L⊥x轴时，线段AB的中点M（2±，0）也符合上面的方程，其轨迹在∠AOB内．

（1）设点M到直线m：x=4的距离为d，

根据题意，可得=，

即=，化简得+=1．

∴曲线C的方程是+=1；

（2）由（1）得曲线C是E（-1，0）、F（1、0）为焦点的双曲线，2a=4．

根据题意，可知|ME|=|MN|，

∵|ME|+|MF|=2a，∴|NF|=|MN|+|MF|=4

∴点N的轨迹是以F（1，0）为圆心，4为半径的圆．

又∵直线PN的方程为：y-8=k（x-1），即kx-y+8-k=0．

∴圆心F到直线PN的距离d小于等于半径，可得≤4，

解之得k≤-或k≥，可得斜率k的取值范围是（-∞，-]∪[，+∞）．

（Ⅰ）由题意知：e==，a-c=1，a2=b2+c2，解得a=2，b2=3．

故椭圆的方程为+=1．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），

（1）若l⊥x轴，可设H（x0，0），因OA⊥OB，则A（x0，±x0）．由+=1，得=，即H(±，0)．

若l⊥y轴，可设H（0，y0），同理可得H(0，±)．

（2）当直线l的斜率存在且不为0时，设l：y=kx+m，

由，消去y得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．

则x1+x2=-，x1x2=．y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=．由OA⊥OB，知x1x2+y1y2=0．故 +=0，即7m2=12（k2+1）（记为①）．

由OH⊥AB，可知直线OH的方程为y=-x．联立方程组，得 （记为②）．将②代入①，化简得x2+y2=．综合（1）、（2），可知点H的轨迹方程为x2+y2=．