- 动点的轨迹方程
- 共573题
在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），向量
（1）试求动点M的轨迹E的方程；
（2）试证直线CM为轨迹E的切线．
正确答案
（1）设B（-1，m），C（x1，y1），
由2
设M（x，y），由
消去m得E的轨迹方程y2=4x（6分）
（2）由题设知C为AB中点，MC⊥AB，故MC为AB的中垂线，MB∥x轴，
设M（
当y0≠0时，kMC=
将MC方程与y2=4x联立消x，整理得：y2-2y0y+y02=0，
它有唯一解y=y0，即MC与y2=4x只有一个公共点，
又kMC≠0，所以MC为y2=4x的切线（10分）
当y0=0时，显然MC方程x=0为轨迹E的切线
综上知，MC为轨迹E的切线．
（文）已知动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切．
（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（2）设过点Q（0，-1）且以
正确答案
（1）∵动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切
故圆心到点P（0，1）的距离等于半径，
且圆心到直线y=-1的距离等于半径，
即圆心到定点P（0，1），及定直线y=-1的距离相等
圆心轨迹M是以P（0，1）为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，
故它的方程是x2=4y------------------------------------------------5′
（2）直线l过点Q（0，-1），且以
代入x2=4y得x2-4kx+4=0，
由△=16k2-4×1×4＞0得k＜-1，或k＞1①-------------------------------------7′
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=4
所以
即x1x2+（y1-1）（y2-1）=x1x2+（kx1-2）（kx2-2）=（1+k2）x1x2-2k（x1+x2）+4＜0------------------------------------------------------------------10′
即4（1+k2）-2k×4k+4＜0，解得k＜-
由①②得k＜-
设x、y∈R，在直角坐标平面内，
正确答案
∵|
∴
此式的几何意义是：
动点（x，y）到两个定点（0，-2）、（0，2）的距离之和等于8，
由椭圆的定义知：点M（x，y）的轨迹方程为椭圆．
其长轴长为8，焦距为4．焦点在y轴上．
其方程为：
故答案为：
平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（2，1），B（x，y）若点B满足
正确答案
依题意，
∴
∵
∴2x+y-5=0
即点B的轨迹方程为2x+y-5=0
故答案为2x+y-5=0
已知点M（0，1）、A（1，1）、B（0，2），且
（I）求点P的轨迹方程；
（II）求过Q（1，3）与（1）中轨迹相切的直线方程．
正确答案
（I）设P（x，y），则
又
∴有（x，y-1）=（cosθ，sinθ），
∴
（II）当斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意；
当斜率存在时，设直线方程为y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0
∵直线与圆相切，∴
∴切线方程为3x-4y+9=0
综上，所求切线方程为x=1或3x-4y+9=0．
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