热门试卷

（Ⅰ）由题意知，动点P到定点C(，  0)的距离等于到定直线x=-的距离，

所以动点P的轨迹为抛物线，

且=，

P=1．

所以点P的轨迹方程为y2=2x．…（6分）

（Ⅱ）设过点A的直线方程为y=k（x+4）（k≠0）．

联立方程组，

消去x，得y2-y+4k=0．…（8分）

设E（x1，y1）、F（x2，y2），

则y1•y2=8，且y12=2x1，y22=2x2．

∵kA′E=，kA′F=，

∴kA′E+kA′F=+=

=

=．

由y1•y2=8，得kA'E+kA'F=0．…（14分）

（1）过点C作直线x=-的垂线，垂足为N，

由题意知：|CF|=|CN|，即动点C到定点F与定直线x=-的距离相等，

由抛物线的定义知，点C的轨迹为抛物线，

其中F(，0)为焦点，x=-为准线，

所以轨迹方程为y2=2px（p＞0）；       

（2）设 A（x1，y1）、B（x2，y2）

不过点P的直线l方程为y=-x+b，

由得y2+2y0y-2y0b=0，

则y1+y2=-2y0，

kAP+kBP=+

=+

=+

==0．

（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），

则kMN===（***）                    

设MP0的直线方程为为y-y0=k（x-x0）与曲线y2=2px的交点P0（x0，y0），M（x1，y1）．

由，y2-y+-2px0=0的两根为y0，y1

则y0+y1=，∴y1=-y0

同理y0′+y2=，得y2=--y0′

∴y1+y2=-(y0+y0′)，

代入（***）计算得kMN=-．是定值，命题得证

设P（x，y），因为A（-2，0），B（2，0）

所以kAP=（x≠-2），kBP=（x≠2）

由已知，•=-（x≠±2）

化简，得+y2=1（x≠±2）

点P的轨迹方程：+y2=1（x≠±2）．

（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+p，

将其代入x2=2py，消去y整理得x2-2pkx-2p2=0（2分）

设A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=-2p2（3分）

将抛物线的方程改写为y=x2，求导得y′=x．

所以过点A的切线l1的斜率是k1=，过点B的切线l2的斜率是k2=，

故k1k2==-2，所以直线l1和l2的斜率之积为定值-2（6分）

（Ⅱ）设M（x，y）．因为直线l1的方程为y-y1=k1（x-x1），即y-=(x-x1)，

同理，直线l2的方程为y-=(x-x2)，

联立这两个方程，消去y得-=(x-x2)-(x-x1)，

整理得(x1-x2)(x-)=0，注意到x1≠x2，所以x=（10分）

此时y=+(x-x1)=+(-x1)==-p（12分）

由（Ⅰ）知，x1+x2=2pk，所以x==pk∈R，

所以点M的轨迹方程是：y=-p．（14分）