正弦定理和余弦定理
共5329题

正弦定理和余弦定理
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题型：简答题

简答题

三角形的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量m=(c-a，b-a)，n=(a+b，c)，若m∥n，

(Ⅰ)求角B的大小；

(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围。

正确答案

解：(Ⅰ)∵，

∴，

∴，，

∴。

(Ⅱ)∵，

∴，

∴

，

∴，∴，

所以，，

因此，。

题型：简答题

简答题

已知△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，向量=（2cos，-sin（A+B）），=（，2sin（A+B）），且。

（1）求角C的大小；

（2）若a2=b2+c2，求sin（A-B）的值。

正确答案

解：（1）由m·n=0得

即

整理得

解得

因为

所以C=60°；

（2）因为

由正弦定理和余弦定理可得

代入上式得

又因为

故

所以。

题型：填空题

填空题

△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，O是其内切圆的圆心，则（）。

正确答案

-5

题型：简答题

简答题

△ABC中，sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB。

（1）若，试问：存在最大值吗？如果存在，说明此时三角形的形状；如果不存在，说明理由；

（2）设点H为锐角△ABC的垂心，且，求AB边的长的最小值.

正确答案

解：△ABC中，由，

得，得到，

又，得，

（1）

，

∴，

所以，当，即时，取最大值，此时三角形为等边三角形.

（2）设AD⊥BC于D，

则，

即ab=12，

（当且仅当a=b时等号成立），

所以，AB边的长的最小值为。

题型：简答题

简答题

已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量=（a，b），=（sinA，cosB），=（1，1）。

（1）若求角B的大小；

（2）若，边长c=2，角，求△ABC的面积。

正确答案

解：（1）∵，

∴acosB=bsinA,

∴，

∴；

（2）由得，a+b=0

由余弦定理可知：

于是ab=4，

。

题型：简答题

简答题

已知=（sinA，）与=（3，sinA+cosA）共线，其中A是△ABC的内角。

（1）求角A的大小；

（2）若BC=2，求△ABC面积S的最大值。

正确答案

解：（1）因为m∥n，

所以

即

因为

所以，

故，；

（2）∵BC=2，

由余弦定理得，

又，

∴bc≤4（当且仅当b=c时等号成立），

从而，

即△ABC的面积S的最大值为。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m=（2sinB，2-cos2B），n=（2sin2（），-1），且m⊥n。

（1）求角B的大小；

（2）若a=，b=1，求c的值。

正确答案

解：（1）因为m⊥n，

所以m·n=0，

所以

即

解得

因为0＜B＜π，

所以或；

（2）由余弦定理得，

得

即c2±3c+2=0，解得c=1或c=2。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若。

（1）判断△ABC的形状；

（2）若，求k的值。

正确答案

解：（1）∵

又

∴bccosA=accosB

∴sinBcosA=sinAcosB

即sinAcosB-sinBcosA=0

∴sin（A-B）=0

∵ -π

∴A=B

∴△ABC为等腰三角形；

（2）由（1）知a=b

∴

∵

∴k=1。

题型：简答题

简答题

△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，，

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)若c-b=1，求a的值．

正确答案

解：由，得，

又，

∴bc=156，

(Ⅰ)；

(Ⅱ)，

∴a=5。

题型：简答题

简答题

设函数f（x）=，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R ，

（1）求f（x）的最小正周期与单调减区间；

（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，△ABC的面积为，求的值。

正确答案

解：（1）

，

∴函数f（x）的最小正周期，

令，

解得，

∴函数f（x）的单调减区间是；

（2）由f（A）=2，得，

在△ABC中，

∵，

∴，

，解得c=2，

在△ABC中，由余弦定理得，

∴，

根据正弦定理，得，

∴。

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