正弦定理和余弦定理
共5329题

正弦定理和余弦定理
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题型：简答题

简答题

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知。

（1）求的值；

（2）若a=2，S△ABC=，求b的值。

正确答案

解：（1）因为锐角△ABC中，A+B+C=π，

所以cosA=，则

。

（2）∵，又

则bc=3。

将a=2，cosA=，c=代入余弦定理：中

得

解得b=。

题型：简答题

简答题

如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=，cos∠ADC=，

（Ⅰ）求sin∠BAD的值；

（Ⅱ）求AC边的长．

正确答案

解：（Ⅰ）因为，所以，

又，

所以，

所以

。

（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，得，

即，解得BD=2，

故DC=2，

从而在△ADC中，由余弦定理，

得

=，

所以AC=4。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=C，2b=a。

（1）求cosA的值；

（2）cos（2A+）的值。

正确答案

解：（1）由，可得

所以。

（2）因为

所以

故

所以。

题型：简答题

简答题

已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=．

（I）若b=4，求sinA的值；

（II）若△ABC的面积S△ABC=4，求b，c的值。

正确答案

解：(1) ∵cosB=>0，且0

∴sinB=

由正弦定理得

(2) ∵S△ABC=acsinB=4

∴，∴c=5

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB

∴b=。

题型：填空题

填空题

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=______．

正确答案

∵C为三角形的内角，cosC=，

∴sinC==，

又a=1，b=2，

∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得：c2=1+4-1=4，

解得：c=2，

又sinC=，c=2，b=2，

∴由正弦定理=得：sinB===．

故答案为：

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanC=3，

(Ⅰ)求cosC；

(Ⅱ)若，且a+b=9，求c。

正确答案

解：(Ⅰ)∵tanC=3，

∴，

又∵sin2C+cos2C=1，解得，

∵tan C＞0，

∴C是锐角，

∴。

(Ⅱ)∵，

∴，∴ab=20，

又∵a+b=9，

∴a2+2ab+b2=81，

∴a2+b2=41，

∴c2=a2+b2-2abcosC=36，

∴c=6。

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．若b2=ac，求y=的取值范围．

正确答案

∵b2=ac，

∴cosB===（+）-≥．

∴0＜B≤，

y===sinB+cosB=sin（B+）．

∵＜B+≤，

∴＜sin（B+）≤1．

故1＜y≤．

题型：简答题

简答题

已知A、B、C是最大边长为2的△ABC的三个内角，=(2sin，4sin)，||=．

（1）求tanA•tanB的值．（2）求∠C的最大值及此时△ABC的面积．

正确答案

（1）∵

2=4sin2+16sin2=10-2cos（A-B）+8cos（A+B）

=10-2cosAcosB-10sinAsinB=10∴tanAtanB=

（2）∴tanAtanB=＞0∴tanA＞0，tanB＞0

∴tanC=tan(A+B)=-=-(tanA+tanB)≤-

当且仅当tanA=tanB=取等号．

又∠C＞，∴c为最大边．即c=2

由余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC∴4=2a2-2a2×(-)∴a2=

故S△=absinC=××=

题型：简答题

简答题

在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是，b，c且。

（1）求B；

（2）求的值。

正确答案

解：（1），

又，

∴，B为锐角，

∴B=60°。

（2）∵B=60°，

∴

。

题型：简答题

简答题

已知f(x)=cosx(sinx+cosx)

（1）当x∈[0，]，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x；

（2）若b、c分别是锐角△ABC的内角B、C的对边，且b•c=-，f（A）=，试求△ABC的面积S．

正确答案

（1）∵f（x）=cosx（sinx+cosx）=sin2x+=sin（2x+）+，x∈[0，]，可得（2x+）∈[，]，

sin（2x+）∈[-，1]，故f（x）的值域为[0，]，当x=时，函数f（x）取得最大值．…（6分）

（2）由f（A）==sin（2A+）+，可得sin（2A+）=0，A=，故 sinA=sin（+）=sincos+cossin=．

可得△ABC的面积S=bc•sinA=×(-)×=．…（6分）

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