- 函数的应用
- 共9606题
若方程4x+（m-3）•2x+m=0有两个不相同的实根，则m的取值范围是______．
正确答案
（0，1）
解析
解：令t=2x，则由题意可得方程t2+（m-3）t+m=0 有两个不相同的正实数实根，
故有△=（m-3）2-4m＞0，且两根之和3-m＞0，两根之积m＞0，
求得0＜m＜1，
故答案为：（0，1）．
讨论函数f（x）=ax2-x-1的零点个数．
正确答案
解：对于函数f（x）=ax2-x-1，当a=0时，f（x）=-x-1有唯一零点x=-1．
当a≠0时，由于判别式△=1+4a，若a＜-
若a＞-
若a=-
综上可得，当a=0或a=-
解析
解：对于函数f（x）=ax2-x-1，当a=0时，f（x）=-x-1有唯一零点x=-1．
当a≠0时，由于判别式△=1+4a，若a＜-
若a＞-
若a=-
综上可得，当a=0或a=-
已知函数f（x）=ax2-4x+1在区间（0，1）内恰有一个零点，则a的取值范围是______．
正确答案
{a|a＜3，或 a=4}
解析
解：①当a=0时，f（x）=-4x+1，它的零点为x=
②当a≠0时，由题意可得f（0）f（1）=1×（a-3）＜0，或
综上可得，a＜3，或 a=4，
故答案为：{a|a＜3，或 a=4}．
方程x3-x-3=0的实数解所在的区间是（ ）
正确答案
解析
解：令函数f（x）=x3-x-3
当x=-1，0，1，2，3时，函数值依次为-3，-3，-3，3，21
故方程x3-x-3=0的实数解所在的区间是（1，2）
故选C
函数f（x）=2x2-2x-1的零点个数为（ ）
正确答案
解析
解：函数f（x）=2x2-2x-1的零点个数即方程2x2-2x-1=0的根的个数，
∵△=（-2）2+4×2=12＞0；
∴方程2x2-2x-1=0有两个不同的根，
故选C．
已知函数f（x）=ax2+bx-1（a，b∈R且a＞0）有两个零点，其中一个零点在区间（1，2）内，则a-b的取值范围为______．
正确答案
（-2，1）
解析
∴f（x）的图象为开口向上的抛物线
又∵f（x）的截距为-1，且有一个零点在（1，2）
∴由勘根定理得：
又a＞0
画出不等式组
设z=a-b
∴b=a-z（z为直线b=a-z在y轴上截距的相反数）
当经过直线
又不等式组的区域不包括边界，所以z＞-1
∴a-b＞-1
设函数f（x）=3ax2-2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）
（1）设a＞c＞0，若f（x）＞c2-2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范围；
（2）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点，有几个零点？为什么？
正确答案
解：（1）因为二次函数f（x）=3ax2-2（a+c）x+c的图象的对称轴x=
因为由条件a＞c＞0，得2a＞a+c，
所以x=
所以二次函数f（x）的对称轴在区间[1，+∞）的左边，且抛物线的开口向上，
所以f（x）在区间[1，+∞）是增函数．
所以f（x）min=f（1）=a-c，
因为f（x）＞c2-2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，
所以a-c＞c2-2c+a，
所以0＜c＜1；
（2）二次函数f（x）=3ax2-2（a+c）x+c图象的对称轴是x=
若f（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而f（
所以函数f（x）在区间（0，
故函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点；
若f（0）=c＜0，f（1）=a-c＞0，而f（
故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点．
解析
解：（1）因为二次函数f（x）=3ax2-2（a+c）x+c的图象的对称轴x=
因为由条件a＞c＞0，得2a＞a+c，
所以x=
所以二次函数f（x）的对称轴在区间[1，+∞）的左边，且抛物线的开口向上，
所以f（x）在区间[1，+∞）是增函数．
所以f（x）min=f（1）=a-c，
因为f（x）＞c2-2c+a对x∈[1，+∞]恒成立，
所以a-c＞c2-2c+a，
所以0＜c＜1；
（2）二次函数f（x）=3ax2-2（a+c）x+c图象的对称轴是x=
若f（0）=c＞0，f（1）=a-c＞0，而f（
所以函数f（x）在区间（0，
故函数f（x）在区间（0，1）内有两个零点；
若f（0）=c＜0，f（1）=a-c＞0，而f（
故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点．
若函数f（x）=22x+2xa+a+1有零点，求实数a的取值范围．
正确答案
解：f（x）=22x+2xa+a+1=（2x）2+2xa+a+1，
△=a2-4（a+1）≥0；
解得，a≥2+2
若a≤2-2
则y=t2+ta+a+1的对称轴x=-
故数f（x）=22x+2xa+a+1有零点；
若a≥2+2
y=a+1＜0；
故矛盾；
综上所述，a≤2-2
解析
解：f（x）=22x+2xa+a+1=（2x）2+2xa+a+1，
△=a2-4（a+1）≥0；
解得，a≥2+2
若a≤2-2
则y=t2+ta+a+1的对称轴x=-
故数f（x）=22x+2xa+a+1有零点；
若a≥2+2
y=a+1＜0；
故矛盾；
综上所述，a≤2-2
已知函数f（x）=
正确答案
解析
解：∵函数y=f（|x|）
∴f（|x|）=f（|-x|），f（|x|）为偶函数，
∴x＞0时，f（x）零点的个数m与函数y=f（|x|）的零点个数为n，
有2m=n
∵函数f（x）=
∴y=
从图象可知：y=
∴函数y=f（|x|）的零点个数为n=4，
则2
故答案为：
函数
正确答案
-
解析
解：画出
则当x≤0时，g（x）的图象与x轴只有一个交点，
要使函数
只有当x＞0时，函数的图象与x轴有1个交点即可，
而y=2x-1+a是由y=2x-1上下平移而得到，
因此a＜-
故答案为：a＜-
若函数f（x）=ex-ax2有三个不同零点，则a的取值范围是（ ）
A（
B（
C（1，
D（1，
正确答案
解析
作函数y=ex与y=ax2的图象如图，
由图象可知，当x＜0时，两图象必有一个交点，
故当x＞0时，两图象有两个交点，
假设两图象至多有-个交点，则ex≥ax2恒成立，
即a≤
记F（x）=
故F（x）min=F（2）=
故a≤
故若函数f（x）=ex-ax2有三个不同零点，则a＞
故选：A．
函数f（x）=lnx+x-2的零点位于区间（ ）
正确答案
解析
解：求导函数，可得f′（x）=
∵x＞0，∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）=lnx+x-2单调增
∵f（1）=ln1+1-2=-1＜0，f（2）=ln2＞0
∴函数在（1，2）上有唯一的零点
故选：B．
已知函数f（x）=
正确答案
解析
解：∵h（x）=f（x）+g（x）=
∴h′（x）=
∴h（x）在（1，+∞）单调递增，
∵x0是函数h（x）的一个零点，若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），
∴h（x1）＜0，h（x2）＞0，
故选：D．
已知函数f（x）=
正确答案
解析
解：∵f（x）=
∴f（2）=2＞0，f（4）=-
满足f（2）f（4）＜0，
∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，
故选：C
已知函数f（x）=ln（x+1）-x+1，则函数f（x）零点的个数为______．
正确答案
2
解析
解：函数f（x）零点的个数即函数y=ln（x+1）与y=x-1的交点的个数，
作函数y=ln（x+1）与y=x-1的图象如下，
其有两个交点，
故答案为：2．
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