- 函数的应用
- 共9606题
若方程
正确答案
{
解析
方程
∴函数y=
如图所示：
当a=
当a∈（-1，1]时，直线与半圆相交但只有一个交点，满足要求，
∴实数a的取值范围为{
故答案为：{
关于x的方程ax2+3x+1=0的一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围是______．
正确答案
（-4，0）
解析
解：构造函数f（x）=ax2+3x+1，则
∵x的方程ax2+3x+1=0的一根大于1，一根小于1时，
∵af（1）=a（a+4）＜0，
∴-4＜a＜0．
故答案为：（-4，0）．
方程2x=x2的根有______个．
正确答案
3
解析
解：∵2x=x2，
设f（x）
作出两个函数的图象如图：由图象可知两个函数的交点为3个，
即方程根的公式为3个．
当x＜0时，有一个根，
当x=2或x=4时，也是方程的根，
故答案为：3．
已知函数f（x）=
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点的集合．
正确答案
（Ⅰ）∵f（x）=
故函数f（x）的最大值等于2-1=1
（Ⅱ）由f（x）=0得2
由sin x=0可知x=kπ；
由tan x=
故函数f（x）的零点的集合为{x|x=kπ或x=kπ+
集合A={x|（a-1）x2+3x-2=0}有且仅有两个子集，则a=______．
正确答案
集合A={x|（a-1）x2+3x-2=0}中有且仅有一个元素即是方程（a-1）x2+3x-2=0有且仅有一个根．
当a=1时，方程有一根x=
当a≠1时，△=32-4×（a-1）×（-2）=0，解得a=-
故满足要求的a的值为1或-
故答案为：1或-
已知函数f（x）=x2+px+q，若集合{x|f（x）=x}中仅有一个元素2，
（1）求实数p，q的值；
（2）求集合{x|f（x-1）=x+1}．
正确答案
（1）f（x）=x有两个相等的实数根，f（x）=x2+px+q=x，
可得方程x2+（p-1）x+q=0有两个相等的实数根为2，说明可以凑成完全平方式，
∴x2+（p-1）x+q=（x-2）2=x2-4x+4，∴p-1=-4，q=4，
所以p=-3，q=4；
（2）f（x-1）=x+1即是：（x-1）2-3（x-1）+4=x+1，
解得x=3±
∴{x|f（x-1）=x+1}={3+
设关于x的方程2x2+ax-9=0，bx2+x-6=0的解集分别为A、B，且A∩B={
（Ⅰ） 求a和b的值；
（Ⅱ） 求函数f（x）=ax2+bx-8的零点．
正确答案
（ I）由题意可得两方程都有一根为x=
代入可得2(
3
2
)2+
解得：a=3，b=2 （6分）
（ II）由（ I）可知a=3，b=2，
故f（x）=3x2+2x-8=（x+2）（3x-4）
故函数的零点为：x1=
已知集合P=[
（1）若P∩Q≠Φ，求实数a的取值范围；
（5）若方程log2（ax2-2x+2）=2在[
正确答案
（1）若P∩Q≠Φ，则在[
即a＞-
∴a＞-4（5分）
（2）方程log2（ax2-2x+2）=2在[
即在[
设u=
当x∈[
∴a∈[
∴a的取值范围是
若集合A={x|3cos2πx=3x，x∈R}，B={y|y2=1，y∈R}，则A∩B=______．
正确答案
函数y=3cos2πx与y=3x的图象如图，
所以A={x|3cos2πx=3x，x∈R}={x1，x2，1}，B={y|y2=1，y∈R}={-1，1}，
所以A∩B={x1，x2，1}∩{-1，1}={1}．
故答案为{1}．
将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
（1）6是12和18的公约数；
（2）当a＞-1时，方程ax2+2x-1=0有两个不等实根；
（3）已知x、y为非零自然数，当y-x=2时，y=4，x=2．
正确答案
（1）若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．
（2）若a＞-1，则方程ax2+2x-1=0有两个不等实根，是假命题．因为当a=0时，方程变为2x-1=0，此时只有一个实 根x=
（3）已知x、y为非零自然数，若y-x=2，则y=4，x=2，是假命题．∵只要给出一个非0自然数x，就可以得到非0 自然数y=x+2．
命题p：∃n∈R，∀m∈R，m•n=m，命题q：∀n∈R，∃m∈R，m2＜n．则p∨q是______命题（选填“真”或“假”）
正确答案
∵命题p：∃n=1∈R，∀m∈R，m•n=m，
∴p是真命，
又∵命题q：∀n∈R，∃m∈R，m2＜n．是假命，
∴p∨q是真命题．
故答案为：真
（理科）关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是______．
正确答案
①a≠0时，显然方程没有等于零的根．
若方程有两异号实根，则a＜0；
若方程有两个负的实根，
则必有
②若a=0时，可得x=-
综上知，若方程至少有一个负实根，则a≤1．
反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，
因此，关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一负的实根的充要条件是a≤1．
故答案为：a≤1
已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且f（x）=x无实根，则下列命题中：
（1）方程f[f（x）]=x一定无实根；
（2）若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立；
（3）若a＜0，则必存在实数x0，使得f[f（x0）]＞x0；
（4）若a+b+c=0，则不等式f[f（x）]＜x对一切x都成立．
其中正确命题的序号有______（写出所有真命题的序号）
正确答案
f[f（x）]为一个复合函数，可以把方括号里的f（x）看作为一个未知数t，t的范围就是f（x）的值域．
（1）：f[f（x）]可以看为f（t），而题中f（x）=x无实根，所以方程f[f（x）]=x无实根，故（1）成立；（2）：和第一个一样的想法，依然把方括号里的f（x）看作为一个未知数t，则外层为一个开口向上的2次函数，且f（x）=x无实根，所以a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立，故（2）成立；（3）：和2问同理，只不过a符号变了下，故（3）错误；
（4）：（4）与（2）相矛盾，故（4）错误；
故答案为：（1）、（2）．
设函数f（x）=ax+bx-cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为______．
（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①∀x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②∃x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．
正确答案
（1）因为c＞a，由c≥a+b=2a，所以
令f（x）=ax+bx-cx=2ax-cx=cx[2(
得(
所以0＜x≤1．
故答案为{x|0＜x≤1}；
（2）因为f(x)=ax+bx-cx=cx[(
又
所以对∀x∈（-∞，1），(
所以命题①正确；
令x=-1，a=2，b=4，c=5．则ax=
所以命题②正确；
若三角形为钝角三角形，则a2+b2-c2＜0．
f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a2+b2-c2＜0．
所以∃x∈（1，2），使f（x）=0．
所以命题③正确．
故答案为①②③．
如果a、b、c都是实数，那么P：ac＜0，是q：关于x的方程ax2+bx+c=0有一正根和一个负根的______条件．
正确答案
若P：ac＜0，成立，则判别式△=b2-4ac＞0且两个根 x1•x2=
所以q：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根成立；
反之，若q：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根成立即个根 x1•x2=
所以P：ac＜0成立
所以P：ac＜0，是q：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件
故答案为：充分必要条件
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