热门试卷

∵=4

∴把方程两边平方得到x2=9

∴x=±3．

解：（1）函数f（x）=|1﹣|=．

先作出函数f（x）=1﹣（x＞0），再将x轴下方部分翻折到x轴上方即可得到函数的图象．如下图所示

（2）根据函数的图象，可知f（x）在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0＜a＜b且f（a）=f（b）得0＜a＜1＜b，∴，∴+=2

（3）构造函数y1=f（x），y2≡m，由函数f（x）的图象可知，当0＜m＜1时，方程f（x）=m有两个不相等的正根．

（1）∵B={x|ax-6=0}=Φ，

∴方程ax-6=0无解，

∴a=0，即a的值是0；

（2）∵A={x|x2-2x-8=0}={x|x=-2或x=4}={-2，4}，

且A∪B=A，

∴B=Φ，B={-2}，B={4}或B={-2，4}；

当B=Φ时，由（1）知a=0；

当B={-2}时，方程ax-6=0的解是x=-2，∴a=-3；

当B={4}时，方程ax-6=0的解是x=4，∴a=；

当B={-2，4}时，方程ax-6=0的解是x=-2或x=4，显然不成立；

∴由实数a组成的集合为C={0，，-3}．

若m=0，则函数f（x）=-12x-9，由f（x）=-12x-9=0，解得x=-，此时只有一个零点．

若m≠0，对应方程为f（x）=mx2+3（m-4）x-9=0，

此时判别式△=9（m-4）2-4m×（-9）=9（m2-4m+16）=9（m-2）2+108＞0，

∴方程有两个不相等的实根，

即函数f（x）存在两个不同的零点．

综上：m=0时，函数f（x）只有一个零点．

m≠0时，函数f（x）存在两个不同的零点．

设F（x）=x3-bx2+1，则方程F（x）=0与f（x）=g（x）同解，故其有且仅有两个不同零点x1，x2．

由F'（x）=0得x=0或x=b．这样，必须且只须F（0）=0或F（b）=0，因为F（0）=1，故必有F（b）=0，由此得b=．

不妨设x1＜x2，则x2=b=，所以 F（x）=（x-x1）(x-)2，比较系数得-x1=1，故x1=-．

故b=，x1=-，x2=b=．

∵log2(x2-2x)=3，

∴x2-2x=23，即x2-2x-8=0，

分解因式可得（x-4）（x+2）=0，

解得x=-2或x=4，

（1）函数的定义域为（0，+∞），则f′(x)=-2x-a=-，令f'（x）=0，解得

x3=＜0，x4=＞0，所以当0＜x＜x4时，f'（x）＞0，此时函数单调递增．

当x＞x4时，f'（x）＜0，此时函数单调递减．

所以函数的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为[，+∞)．

（2）因为函数f（x）有两个不同的零点x1，x2且x1＜x2，所以，两式相减得a=-(x1+x2)，

因为f′(x)=-2x-a=-，

所以f′(px1+qx2)=-2(px1+qx2)-[-(x1+x2)]

=-+(2p-1)(x2-x1)，

因为2p≤p+q=1，x2＞x1，所以（2p-1）（x2-x1）≤0，要证f′（px1+qx2）＜0，只要证明

-＜0即可，即只要证明+ln＜0即可．

令=t，0＜t＜1，即只要证明g(t)=+ln⁡t＜0在0＜t＜1上恒成立即可．g′(t)=+=-+=，

因为p+q=1，0＜p≤q，所以≥1，≥1，所以当0＜t＜1时，t-1＜0，t-＜0，

所以g'（x）＜0，所以函数g（t）在（0，1）上为增函数，所以g（t）＜g（1）=0．

所以+ln＜0，故所证明的不等式成立．

（1）证明：∵函数H（x）=f（x）-g（x）=3x2 -2ax+a-1 的判别式△=4a2-12a+12=4[(x-

3

2

)2+]＞0，

∴函数H（x）=f（x）-g（x）恒有两个不同的零点．

（2）若函数f（x）在（0，2）上无零点，结合f（x）在（0，2）上单调递增，

可得f（0）=a≥0，或 f（2）=12+a≤0，解得a≥0，或 a≤-12．

∵函数y=|g（x）|=|2ax+1|，

①故当a=0时，|g（x）|=1 在（0，2）上没有单调性．

②当a＞0时，函数y=|g（x）|=|2ax+1|的零点为x=-＜0，函数y=|g（x）|在（0，2）上单调递增．

③当a≤-12时，函数y=|g（x）|=|2ax+1|的零点为x=-∈（0，]，函数y=|g（x）|在（0，-）上单调递减，在（-，2）上是增函数．

（1）m=2时，f(x)=2x-，f′(x)=2+，f′(1)=4，

切点坐标为（1，0），

∴切线方程为y=4x-4…（2分）

（2）m=1时，令h(x)=f(x)-g(x)=x--2lnx，

h′(x)=1+-=≥0，

∴h（x）在（0，+∞）上为增函数．…（4分）

又h(e)•h()=-(-e+2)2＜0，

∴y=h（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点

∴在（0，+∞）内f（x）=g（x）有且仅有一个实数根     …（6分）

（或说明h（1）=0也可以）

（3）mx--2lnx＜2恒成立，即m（x2-1）＜2x+2xlnx恒成立，

又x2-1＞0，则当x∈（1，e]时，m＜恒成立，

令G(x)=，只需m小于G（x）的最小值，

G′(x)=，

∵1＜x≤e，∴lnx＞0，∴当x∈（1，e]时G'（x）＜0，

∴G（x）在（1，e]上单调递减，

∴G（x）在（1，e]的最小值为G(e)=，

则m的取值范围是(-∞，)．            …（12分）

解：（1）由题意，函数是偶函数，

当a=b=1时，则=，其函数的图象如图：

（2）由（1）可知f（x）=k的解，

当k＜﹣1或k＞0时，解的个数为：2，

当k=﹣1时，方程只有1个解．

当﹣1＜k≤0，时，方程没有解．

设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）

因为f（x）图象过点（0，3），所以c=3

又f（x）对称轴为x=2，

∴-=2即b=-4a

所以f（x）=ax2-4ax+3（a≠0）

设方程ax2-4ax+3=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，

则x1+x2=4，x1x2=，x12+x22=10

∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16-，

所以16-=10

得a=1，b=-4

所以f（x）=x2-4x+3