- 函数的应用
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关于x的方程
正确答案
由题意，等式左边是一段圆弧x2+y2=1 （y≥0）
右边是条直线y=kx+3-2k，直线恒过定点（2，1）
根据点到直线的距离小于半径时才有和圆弧所在的圆有两个交点
∴k＞0
当直线过点（-1，0）时，k=
所以方程
故答案为：（0，
设函数y=f（x）对一切实数x都有f（3+x）=f（3-x）且方程恰有6个不同的实根，则这6个根之和为______．
正确答案
∵对于任意实数x，函数f（x）满足f（3+x）=f（3-x），
∴函数的图象关于x=3对称，
∴函数的零点关于x=3对称，
∴方程f（x）=0的根关于x=3对称，
∴方程f（x）=0的6个实数解中有3对，
∴成对的两个根之和等于2×3=6，
∴6个实根之和是6×3=18．
故答案为：18．
二次函数y=x2-2x-3的零点是______．
正确答案
∵二次函数y=x2-2x-3，
令函数的值等于0，
得到x2-2x-3=0，
即（x-3）（x+1）=0，
∴x=3或x=-1，
故答案为：-1，3
方程log2（2-2x）+x+99=0的两个解的和是______．
正确答案
设方程log2（2-2x）+x+99=0的两个解为x1，x2，
令t=2x，∴x=log2t
∵log2（2-2x）+x+99=0
∴log2（2-t）+log2t+99=0
∴log2[（2-t）t]=-99
∴（2-t）t=2-99
∴t2-2t+2-99=0
设方程两根为t1，t2，
∴t1t2=2-99
∴2x1•2x2=2-99
∴x1+x2=-99
故答案为：-99
已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）•ex．
（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；
（2）当m＞2时，求函数f（x）的极大值．
正确答案
（1）令f（x）=（x2+mx+m）•ex=0．
∵ex＞0，∴x2+mx+m=0．
∵函数f（x）没有零点，∴方程x2+mx+m=0无实根．
则△=m2-4m＜0，解得：0＜m＜4．
所以函数f（x）没有零点的实数m的取值范围是（0，4）；
（2）由f（x）=（x2+mx+m）•ex．
得：f′（x）=（2x+m）ex+（x2+mx+m）ex
=（x2+2x+mx+2m）ex=（x+2）（x+m）ex．
令f′（x）=0，得：x=-2或x=-m．
当m＞2时，-m＜-2．
所以，当x∈（-∞，-m）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；
当x∈（-m，-2）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；
当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
所以，当x=-m时，f（x）取得极大值，极大值为f（-m）=[（-m）2+m•（-m）+m]e-m=me-m．
根据表格中的数据，可以判定函数f（x）=ex-x-2的一个零点所在的开区间为______．
正确答案
因为f（-1）=0.37-1＜0；f（0）=1-2＜0；f（1）=2.72-3＜0；f（2）=7.39-4＞0；f（3）=20.09-5＞0
所以f（1）f（2）＜0；所以f（x）在区间（1，2）上有零点．
故答案为（1，2）
设x0是方程lnx+x=4的根，且x0∈（k，k+1），则整数k=______．
正确答案
令函数f（x）=lnx+x-4，则由x0是方程lnx+x=4的根，可得x0是函数f（x）=lnx+x-4 的零点．
再由f（2）=ln2-2＜0，f（3）=ln3-1＞lne-1=0，可得f（2）f（3）＜0，
故x0∈（2，3），∴k=2，
故答案为 2．
已知函数f（x）=lgx+x-3的自变量x与其对应的函数值f（x）如下表所示：
则函数f（x）=lgx+x-3的零点为______．（精确到0.1）
正确答案
∵f（2.5625）=-0.02844＜0，f（2.625）=0.044129＞0，
∴f（2.5625）f（2.625）＜0，
由函数零点的判定定理可知：函数f（x）的一个零点所在区间是（2.5625，2.625）．
故答案为：2.6
设函数f（x）=3x（x-1）（x-2），则导函数f′（x）共有______个零点．
正确答案
f（x）=3x（x-1）（x-2）=3x3-9x2+6x
∴f'（x）=9x2-18x+6
令f'（x）=9x2-18x+6=0
得3x2-6x+2=0
∵△=36-4×3×2=12＞0
∴方程f'（x）=0有两个根
∴导函数f'（x）有两个零点
故答案为：2
已知函数f （x）=3ax-2a+1在区间（-1，1）内存在x0使f （x0）=0，则实数a的取值范围是 ______．
正确答案
令f （x）=3ax-2a+1=0得到 x=
所以根据题意有即-1＜
当a＞0时，解上述不等式得a＞
当a＜0时，解上述不等式得a＜-1
所以a的取值范围为（-∞，-1）U（
故答案为：（-∞，-1）U（
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0））的图象与x轴有两个不同的交点，若f（c）=0，且0＜x＜c时，f（x）＞0
（1）证明：
（2）试比较
（3）证明：-2＜b＜-1．
正确答案
证明：（1）∵f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴有两个不同的交点，f（x）=0的两个根x1，x2满足 x1x2=
又f（c）=0，不妨设x1=c∴x2=
（2）假设 
由0＜x＜c时，f（x）＞0，得 f(
∵f（x）=0的两个根不相等
∴
（3）由（1）（2）知，函数图象与x轴的两个交点为（c，0），（
∴对称轴在x=c与x=
即-2ac＞b＞-2，
从而：-2＜b＜-1．
已知函数f（x）=ln（x+a）-x2-x在x=0处取得极值
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）=-
正确答案
（1）f′（x）=
∵f′（0）=0，∴a=1．
（2）f（x）=ln（x+1）-x2-x
所以问题转化为b=ln（x+1）-x2+
从而可研究函数g（x）=ln（x+1）-x2+
∵g′（x）=-
∴g（x）的增区间为[0，1]，减区间为[1，2]．
∴gmax（x）=g（1）=
又g（2）=-1+ln3，
∴当b∈[-1+ln3，
已知函数f(x)=2sin(ωx-
正确答案
∵函数f(x)=2sin(ωx-
∴T=π
由周期公式可得，ω=2，f（x）=2sin（2x-
∴f（x+
∴2kπ＜2x＜2kπ+π
∴kπ＜x＜kπ+
故答案为：kπ＜x＜kπ+
根据下表，能够判断f（x）=g（x）在四个区间：①（-1，0）；②（0，1）；③（1，2）；④（2，3）中有实数解是的______（填序号）．
正确答案
设函数h（x）=f（x）-g（x），
则h（-1）=f（-1）-g（-1）
=-0.677-（-0.530）=-0.147＜0，
h（0）=f（0）-g（0）=3.011-3.451=-0.440＜0，
h（1）=f（1）-g（1）=5.432-4.890=0.542＞0，
h（2）=f（2）-g（2）=5.980-5.241=0.738＞0，
h（3）=f（3）-g（3）=7.651-6.892=0.759＞0，
∴h（0）•h（1）＜0，
由零点存在定理，得
函数h（x）=f（x）-g（x）的零点存在区间为（0，1），
故答案为②．
已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-1，且a∈（0，3），则对于任意的b∈R，函数F（x）=f（x）-x总有两个不同的零点的概率是______．
正确答案
∵F（x）=ax2+（b+1）x+b-1-x=ax2+bx+b-1，
函数F（x）总有两个不同的零点，
所以△=b2-4ab+4a＞0恒成立
令f（b）=b2-4ab+4a＞0
只需要△=16a2-16a＜0
∴0＜a＜1．
所以，由几何概率的公式可得，所求的概率P=
故答案为
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