- 函数的应用
- 共9606题
已知函数f(x)=x+
（1）求函数F（x）=f（x）+g（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程
正确答案
函数F(x)=f(x)+g(x)=x+
∴F′(x)=1-
①当△=1+4a≤0，即a≤-
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（2分）
②当△=1+4a＞0，即a＞-
解得x1=
（ⅰ） 若-
∵x∈（0，+∞），
∴F′（x）＞0，
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．（4分）
（ⅱ）若a＞0，则x∈(0，
x∈(
∴函数F（x）在区间(0，
在区间(
综上所述，当a≤0时，函数F（x）的单调递增区间为（0，+∞）；（6分）
当a＞0时，函数F（x）的单调递减区间为(0，
单调递增区间为(
（2）令h(x)=
令h′（x）=0，得x=e．
当0＜x＜e时，h′（x）＞0；
当x＞e时，h′（x）＜0．
∴函数h（x）在区间（0，e）上单调递增，
在区间（e，+∞）上单调递减．
∴当x=e时，函数h（x）取得最大值，其值为h(e)=
而函数m（x）=x2-2ex+a=（x-e）2+a-e2，
当x=e时，函数m（x）取得最小值，其值为m（e）=a-e2．（12分）
∴当a-e2=
方程
关于x的方程k•4x-k•2x+1+6（k-5）=0在区间[0，1]上有解，则实数k的取值范围是______．
正确答案
令t=2x，则t∈[1，2]，
∴方程k•4x-k•2x+1+6（k-5）=0，化为：k•t2-2k•t+6（k-5）=0，
根据题意，此关于t的一元二次方程在[1，2]上有零点，
整理，得：方程k（t2-2t+6）=30，当t∈[1，2]时存在实数解
∴k=
∵t2-2t+6=（t-1）2+5∈[5，6]
∴k=
故答案为[5，6]
对于任意定义在区间D上的函数f（x），若实数x0∈D满足f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）在D上的一个不动点．
（1）求函数f(x)=2x+
（2）若函数f(x)=2x+
正确答案
（1）设函数f(x)=2x+
则2x0+
∴x0=1
（2）若函数f(x)=2x+
则2x+
∴x2+ax+a=0在x∈（0，+∞）没有实数解
∴△=a2-4a＜0或
∴0＜a＜4或a≥4
直线y=x与函数f(x)=
正确答案
根据题意，直线y=x与射线y=2（x＞m）有一个交点A（2，2），
并且与抛物线y=x2+4x+2在（-∞，m]上的部分有两个交点B、C
由
∵抛物线y=x2+4x+2在（-∞，m]上的部分必须包含B、C两点，
且点A（2，2）一定在射线y=2（x＞m）上，才能使y=f（x）图象与y=x有3个交点
∴实数m的取值范围是-1≤m＜2
故答案为：-1≤m＜2
设
正确答案
略
设二次函数
正确答案
答案见解析
证明：由题意可知
∴ 当
又
综上可知，所给问题获证.
已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=
正确答案
由f（x+2）=f（x），知f（x）是周期为2的周期函数．
分别作出函数y=f（x）与y=g（x）的图象，如图所示．
这两个函数的图象关于点P（-2，2）中心对称，故它们的交点也关于点P（-2，2）中心对称，
从而方程f（x）=g（x）在区间[-8，3]上的所有6个实根也是两两成对地关于点P（-2，2）中心对称，
则方程f（x）=g（x）在区间[-8，3]上的所有实根之和为3×（-4）=-12．
故答案为：-12．
若关于x的方程f（2008+x）f（a-x）=0恰有2009个根，且所有根的和为2009，则实数a的值为______．
正确答案
∵f（2008+x）与f（a-x）关于x=-
∴所有根的平均数是-
∴-
即a=-2010
故答案为：-2010
已知f（x）=x3+bx2+cx-b（b＜0）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）若f（x）的图象上在两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，且函数f（x）在区间[m，n]上存在零点，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，在f（x）的图象上是否存在一点M，使得f（x）在点M的切线斜率为2b？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
正确答案
（Ⅰ）f'（x）=3x2+2bx+c，…（1分）
由f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性，
知x=0是f（x）的一个极值点．…（2分）
∴f'（0）=0，得c=0．…（3分）
（Ⅱ）令f'（x）=0，得3x2+2bx=0，∴x1=0，x2=-
∵f（x）的图象上在两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，
∴A，B为f（x）的极值点．…（5分）
则m=0，n=-
又f(0)=-b，f(-
若f（x）在[0，-
∵f（0）=-b＞0，
则f(-
∵b＜0，∴
（Ⅲ）由（Ⅱ），知由f'（x）=0，
得x1=0，x2=-
∵f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，f'（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的符号，…（9分）
∴2≤-
即-6≤b≤-3．…（10分）
假设存在点M（x0，y0）使得f（x）在M处切线斜率为2b，
则f'（x0）=2b，即3x20+2bx0-2b=0，…（11分）
△=4b2+24b=4（b2+6b）=4（b+3）2-3b，
∵-6≤b≤-3，∴-3b≤△≤0，…（12分）
当b=-6时，△=0，
由3x02-12x0+12=0得x0=2，
故存在这样点M，坐标为（2，-10）．…（14分）
设方程2x2-3x-1=0的两根为x1和x2，不解方程求x14+x24的值．
正确答案
设方程2x2-3x-1=0的两根为x1和x2，
由根与系数的关系知x1+x2=-
∵x14+x24=（x12+x22）2-2x12x22
=[（x1+x2）2-2x1x2]2-2x12x22
=[（ 
=
要建造一座跨度为16米,拱高为4米的抛物线拱桥,建桥时,每隔4米用一根柱支撑,两边的柱长应为____________
正确答案
略
某校高一（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生
成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用
780元，其中，纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量
y (桶)之间满足如图所示关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若该班每年需要纯净水380桶，且a 为120时，
请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装
纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？
（3）当a至少为多少时, 该班学生集体改饮桶装纯净
水一定合算？从计算结果看，你有何感想（不超过30字）？
正确答案
（1）
（1）设
∵x＝4时，y＝400；x＝5时，y＝320．
∴
∴y与x的函数关系式为
（2）该班学生买饮料每年总费用为50×120＝6000（元），
当y＝380时，
该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为380×4.25+780＝2395(元),
显然，从经济上看饮用桶装纯净水花钱少． …………………10分
（3）设该班每年购买纯净水的费用为W元，则
W＝xy＝x（－80x+720）＝
∴当 x＝
要使饮用桶装纯净水对学生一定合算，
则 50a≥W最大值+780，即 50a≥1620+780， 解之，得 a≥48．
所以a至少为48元时班级饮用桶装纯净水对学生一定合算，…………………15分
由此看出，饮用桶装纯净水不仅能省钱，而且能养成勤俭节约的好习惯…………16分
已知函数f（x）=ln（a-x）-lg（1+x）的零点为0，则实数a=______．
正确答案
∵函数f（x）=ln（a-x）-lg（1+x）的零点为0，∴f（0）=lna-ln1=0，解得a=1．
∴实数a=1．
故答案为1．
已知函数f(x)＝
正确答案
在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]，[2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根t一定在区间(3，4)内，g(t)＝
如果关于x的方程ax+
正确答案
由函数解析式可得：x≠0，如果关于x的方程 ax+
即方程ax3-3x2+1=0有且仅有一个正实数解，
即方程a=-
讨论函数y=-
作出函数y=-
根据图象可得：当a≤0或a=2时在（0，+∞）上有且仅有一个交点．
故答案为：a≤0或a=2
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