函数的应用_章节学习

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题型：填空题

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填空题

函数的图像恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ▲ ．

正确答案

4

略

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题型：填空题

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填空题

设函数f(x)=则函数g（x）=f（x）-log4x的零点个数为______．

正确答案

令g（x）=f（x）-log4x=0得f（x）=log4x

∴函数g（x）=f（x）-log4x的零点个数即为函数f（x）与函数y=log4x的图象的交点个数，

在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y=log4x的图象，如图所示，

有图象知函数y=f（x）-log4 x上有3个零点．

故答案为：3个．

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题型：填空题

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填空题

在复数范围内，方程x2+x+1=0的根是______．

正确答案

∵x2+x+1=0

∴x==

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

已知函数，将集合A={x|f（x）=t，0＜t＜1}（t为常数）中的元素由小到大排列，则前六个元素的和为______．

正确答案

①当1≤x≤2时，f（x）=x-1，由x-1=t，解得x=1+t；

②当2＜x≤3时，f（x）=3-x，由3-x=t，解得x=3-t；

③当3＜x≤6时，1＜≤2，则f（x）=3（-1）=x-3，由x-3=t，解得x=3+t；

④当6＜x≤9时，2＜≤3，f（x）=3(3-)=9-x，由9-x=t，解得x=9-t；

⑤当9＜x≤18时，3＜≤6，则f（x）=3(-3)=x-9，由x-9=t，解得x=9+t；

⑥当18＜x≤27时，6＜≤9，则f（x）=3(9-)=27-x，由27-x=t，解得x=27-t．

因此将集合A={x|f（x）=t，0＜t＜1}（t为常数）中的元素由小到大排列，

则前六个元素的和=（1+t）+（3-t）+（3+t）+（9-t）+（9+t）+（27-t）=52．

故答案为52．

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题型：简答题

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简答题

已知向量=(2cosx，-sin2x)，=（cosx，1），设函数f（x）=•，x∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；

（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在区间[0，]上有实数根，求k的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）∵函数f（x）=•=2cos2x-sin2x=cos2x-sin2x+1=2sin（-2x）+1=-2sin（2x-）+1，

∴函数的最小正周期为 =π，令 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，解得kπ-≤x≤kπ+，k∈z，

故函数的减区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在区间[0，]上有实数根，则函数y=f（x）的图象和直线y=k 在区间[0，]上有交点．

由 0≤x≤ 可得-≤2x-≤，∴-≤sin（2x-）≤1，∴-1≤-2sin（2x-）+1≤2，

即函数f（x）的值域为[-1，2]，

故-1≤k≤2，即k的取值范围为[-1，2]．

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题型：简答题

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简答题

设二次函数f（x）=ax2+bx+c，函数F（x）=f（x）-x的两个零点为m，n（m＜n）．

（1）若m=-1，n=2，求不等式F（x）＞0的解集；

（2）若a＞0且0＜x＜m＜n＜，比较f（x）与m的大小．

正确答案

（1）由题意知，F（x）=f（x）-x=a（x-m）（x-n）

当m=-1，n=2时，不等式F（x）＞0

即为a（x+1）（x-2）＞0．

当a＞0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|x＜-1，或x＞2}；

当a＜0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|-1＜x＜2}．

（2）f（x）-m=a（x-m）（x-n）+x-m=（x-m）（ax-an+1）

∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，0＜ax＜am＜an＜1；

∴x-m＜0，an＜1，∴1-an+ax＞0

∴f（x）-m＜0，即f（x）＜m．

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题型：简答题

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简答题

设二次函数f（x）=ax2+bx+c，函数F（x）=f（x）-x的两个零点为m，n（m＜n）．

（1）若m=-1，n=2，求不等式F（x）＞0的解集；

（2）若a＞0且0＜x＜m＜n＜，比较f（x）与m的大小．

正确答案

（1）由题意知，F（x）=f（x）-x=a（x-m）（x-n）

当m=-1，n=2时，不等式F（x）＞0

即为a（x+1）（x-2）＞0．

当a＞0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|x＜-1，或x＞2}；

当a＜0时，不等式F（x）＞0的解集为{x|-1＜x＜2}．

（2）f（x）-m=a（x-m）（x-n）+x-m=（x-m）（ax-an+1）

∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，0＜ax＜am＜an＜1；

∴x-m＜0，an＜1，∴1-an+ax＞0

∴f（x）-m＜0，即f（x）＜m．

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题型：简答题

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简答题

已知方程 x3+a=

（1）当a=0时，求方程x3+a=的各个实根；

（2）若方程x3+a=的各个根x1，x 2，…，xk(k≤4)所对应的点(xi，)(i=1，2，…，k)均在直线y=x的同侧，求实数a的取值范围．

正确答案

（1）当a=0时，x3=

解得x1=或x2=-…（2分）

（2）x3+a=，设f(x)=x3+a，g(x)=，

函数g(x)=与y=x的图象相交于两点（2，2），（-2，-2）

函数y=x3与y=x的图象相交于两点（1，1），（-1，-1）…（4分）

①当a=0时，点(，2)，(-，-2)的直线y=x的异侧…（5分）

②当a＜0时，要使f（x）=x3+a与g(x)=的两个交点在同直线y=x的右侧，

需满足解得a＜-6；…（8分）

当a＞0时，要使f（x）=x3+a与g(x)=的两个交点在同直线y=x的左侧

需满足解得a＞6

所以满足条件的a的取值范围是（-∞，-6∪（6，+∞）…（10分）

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=x3-3ax2-3a2+a（a＞0）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）若曲线y=f（x）上有两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，且函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点，求实数a的取值范围．

正确答案

（1）f′（x）=3x2-6ax=3x（x-2a）．令f′（x）=0，得x1=0，x2=2a

列表如下：

由上表可知，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2a，+∞）；单调递减区间为（0，2a）．

（2）由（1）可知，m=0，n=2a且在x=0，x=2a处分别取得极值．

f（0）=-3a2+a，f（2a）=-4a3-3a2+a．由已知得函数y=f（x）在区间[0，2a]上存在零点，

∴f（0）×f（2a）≤0即（-3a2+a）（-4a3-3a2+a）≤0

∴a2（3a-1）（4a-1）（a+1）≤0

∵a＞0

∴（3a-1）（4a-1）≤0，解得≤a≤故实数a的取值范围是[，]．

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题型：填空题

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填空题

若函数f（x）=x-a与g（x）=x2+ax-2有相同的零点，则a=______．

正确答案

由x-a=0得x=a，x=a代入x2+ax-2=0得2a2-2=0，∴a=1或a=-1．

故答案为：1或-1．

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题型：填空题

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填空题

函数f（x）=2x+x-7的零点所在的区间是（k，k+1），k∈Z，则k=______．

正确答案

解；因为f（x）=2x+x-7，

所以f（2）=22+2-7=6-7=-1＜0，

f（3）=32+3-7=12-7=5＞0，

所以函数零点所在的区间为（2，3），所以k=2．

故答案为：2．

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题型：填空题

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填空题

方程x2-6x+4=0的两根的等比中项是______．

正确答案

由于方程x2-6x+4=0的两根分别为 x=3-，和 x=3+，故这两根的等比中项是±=±2，

故答案为±2．

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题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）=2x+x-1的零点个数是a，b=(8x+1)dx，正数m，n满足m+n=2，则+的最小值为______．

正确答案

∵函数f（x）=2x+x-1的零点个数为1

∴a=1

b=(8x+1)dx，=（4x2+x）|01=5

+=+=（m+n）（+）=3++≥3+

当且仅当n=m时取等号

∴+的最小值为3+

故答案为：3+

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题型：填空题

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填空题

若关于x的方程log2（ax2-2x+2）=2在区间[，2]上有解，则实数a的取值范围为（）。

正确答案

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题型：填空题

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填空题

若关于x的方程x2－(a2＋b2－6b)x＋a2＋b2＋2a－4b＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x1<02<1，则a2＋b2＋4a＋4的取值范围是________．

正确答案

由题意得

即利用线性规划的知识，问题转化为求区域上的点到点(－2,0)的距离的平方的取值范围．由图可知，所求的最大距离即为点(－2,0)与圆心(－1,2)的连线交圆与另一端点的值，即＋2.所求的最小距离即为点(－2,0)到直线a＋b＋1＝0的距离，即为＝，所以a2＋b2＋4a＋4∈，即a2＋b2＋4a＋4∈.

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