二次函数的应用
共333题

· 二次函数的应用

二次函数的应用
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题型：填空题

填空题 · 4 分

15．设有最大值，则不等式的解集为（）.

正确答案

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知识点

二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 15 分

22．已知是定义在上的奇函数，当时，

（1）求的解析式；

（2）是否存在实数，使得当的最小值是4？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。

正确答案

（1）设

上的奇函数，

故函数的解析式为：

（2）假设存在实数，使得当

有最小值是3。

①当时，

由于故函数上的增函数。

解得（舍去）

②当

解得

综上所知，存在实数，使得当最小值4。

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二次函数的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

11.如下图，给定两个平面向量，它们的夹角为，点C在以O为圆心的圆弧AB上，且（其中），则满足的概率为（）

正确答案

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二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知点若动点满足．

（1）求动点的轨迹；

（2）在轴正半轴上是否存在一点，过该点的直线（不与轴重合）与曲线交于两点,使得为定值，若有求出点坐标和定值，若不存在，说明理由。

正确答案

（1）设动点，所以，

代入· ，整理得：

（2）假设存在定点使得为定值.

设，直线：，.

，.

所以（1）

联立与，整理得：

代入（1）式得

要使得上式为定值,须,解得此时取到定值

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二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知椭圆：的离心率为，且过点.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)垂直于坐标轴的直线与椭圆相交于、两点，若以为直径的圆经过坐标原点.证明：圆的半径为定值.

正确答案

(Ⅰ)

(Ⅱ)证明：设

，

此时0到AB的距离为

同理可求得

综上所述，圆D的半径为定值

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二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 10 分

请考生在第22、23、24三题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分

22．选修4-1：几何证明选讲

如图，圆与圆相交于A、B两点，AB是圆的直径，过A点作圆的切线交圆于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与圆、圆交于C，D两点。

求证：

(Ⅰ)PA·PD=PE·PC；

(Ⅱ)AD=AE。

23.选修4—4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线，过点A（5，α）（α为锐角且）作平行于的直线，且与曲线L分别交于B，C两点。

(Ⅰ)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线的普通方程；

(Ⅱ)求|BC|的长。

24．选修4—5：不等式选讲

已知关于x的不等式（其中）。

(Ⅰ)当a=4时，求不等式的解集；

(Ⅱ)若不等式有解，求实数a的取值范围。

正确答案

22.（Ⅰ）分别是⊙的割线∴ ①

又分别是⊙的切线和割线∴ ②

由①，②得

（Ⅱ）连结、

设与相交于点

∵是⊙的直径

∴

∴是⊙的切线.

由（Ⅰ）知，∴∥∴⊥,

又∵是⊙的切线，∴

又，∴

∴

23.（Ⅰ）由题意得，点的直角坐标为

曲线L的普通方程为：

直线l的普通方程为：

（Ⅱ）设B（）C（）

联立得

由韦达定理得，

由弦长公式得

24.（Ⅰ）当时，，

时，，得

时，，此时不存在

∴不等式的解集为

（Ⅱ）∵设

故，即的最小值为

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二次函数的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．直四棱柱中，底面为菱形，且为延长线上的一点，面。

（1）求二面角的大小；

（2）在上是否存在一点，使面?若存在，求的值，不存在，说明理由。

正确答案

（1）设与交于，如图所示建立空间直角坐标系，设，

则设

则

平面

即

设平面的法向量为

则由得令

平面的一个法向量为

又平面的法向量为

二面角大小为

（2）设

得

面

存在点使面此时

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题型：单选题

单选题 · 5 分

4.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（）

①平均数；

②标准差；

③平均数且标准差；

④平均数且极差小于或等于2；

⑤众数等于1且极差小于或等于1。

A①②

B③④

C③④⑤

D④⑤

正确答案

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题型：填空题

填空题 · 5 分

14.已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积等于___________cm3．

正确答案

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题型：简答题

简答题 · 12 分

17．已知是等差数列，；的前项和是，且．

（1）求数列和通项公式；

（2）记的前项和为，若对一切都成立，求最小正整数。

正确答案

由已知得最小正整数

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