- 电磁感应
- 共8761题
如图所示，在水平地面MN上方空间存在一垂直纸面向里、磁感应强度B=1T的有界匀强磁场区域，上边界EF距离地面的高度为H．正方形金属线框abcd的质量m=0.02kg、边长L=0.1m（L＜H），总电阻R=0.2Ω，开始时线框在磁场上方，ab边距离EF高度为h，然后由静止开始自由下落，abcd始终在竖直平面内且ab保持水平．线框从开始运动到ab边刚要落地的过程中（g取10m/s2）：
（1）若线框从h=0.45m处开始下落，求线框ab边刚进入磁场时的加速度；
（2）若要使线框匀速进入磁场，求h的大小；
（3）求在（2）的情况下，线框产生的焦耳热Q和通过线框截面的电量q．
正确答案
（1）当线圈ab边进入磁场时
v1=
E=BLv1
安培力F=BIL=BL
由牛第二定律mg-F=ma
得a=2.5m/s2
（2）由v=
则F=BILmg-F=0
解得h=0.8m
（3）线圈cd边进入磁场前F=G，线圈做匀速运动，
由能量关系可知焦耳热
Q=mgL=0.02J
通过线框的电量q=It=
两根足够长的光滑平行直导轨MN、PQ与水平面成θ角放置，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向上，导轨和金属杆接触良好，它们的电阻不计．现让ab杆由静止开始沿导轨下滑．
（1）求ab杆下滑的最大速度vm；
（2）ab杆由静止释放至达到最大速度的过程中，电阻R产生的焦耳热为Q，求该过程中ab杆下滑的距离x及通过电阻R的电量q．
正确答案
（1）根据法拉第电磁感应定律和安培力公式有：
E=BLv ①
I=
FA=BIL ③
根据牛顿第二定律有：
mgsinθ-FA=ma ④
联立①②③④得：mgsinθ-
当加速度a为零时，速度v达最大，速度最大值：vm=
故ab杆下滑的最大速度为vm=
（2）根据能量守恒定律有：
mgxsinθ=
得x=
根据电磁感应定律有：
根据闭合电路欧姆定律有：
感应电量：
q=
得：q=
故过程中ab杆下滑的距离为x=
如图所示，两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直向下的磁场中，整个磁场由n个宽度皆为x0的条形匀强磁场区域1、2…n组成，从左向右依次排列，磁感应强度的大小分别为B、2B、3B…nB，两导轨左端MP间接入电阻R，一质量为m的金属棒ab垂直于MN、PQ放在水平导轨上，与导轨电接触良好，不计导轨和金属棒的电阻．
（1）对导体棒ab施加水平向右的力，使其从图示位置开始运动并穿过n个磁场区，求导体棒穿越磁场区1的过程中通过电阻R的电量q；
（2）对导体棒ab施加水平向右的恒力F0，让它从磁场区1左侧边界处开始运动，当向右运动距离
（3）对导体棒ab施加水平向右的拉力，让它从距离磁场区1左侧x=x0的位置由静止开始做匀加速运动，当棒ab进入磁场区1时开始做匀速运动，此后在不同的磁场区施加不同的拉力，使棒ab保持做匀速运动穿过整个磁场区，求棒ab通过第i磁场区时的水平拉力Fi和棒ab在穿过整个磁场区过程中回路产生的电热Q．
正确答案
（1）电路中产生的感应电动势为：E=
通过电阻R的电量为：q=I△t=
导体棒通过I区过程：△Φ=BLx0
解得：q=
故导体棒穿越磁场区1的过程中通过电阻R的电量：q=
（2）设导体棒运动时速度为v0，则产生的感应电流为：
I0=
导体棒受到的安培力与水平向右的恒力F0平衡，则
BI0L=F0
解得：v0=
设棒通过磁场去I在△t时间内速度的变化为△v，对应的位移为△x，则
F0-BIL=m
△v=
则∑△v=
解得：t=
故棒通过磁场区1所用的时间t=
（3）设进入I区时拉力为F1，速度v，则有：
F1x0=
F1-
解得：F1=
进入i区的拉力：Fi=
导体棒以后通过每区域都以速度v做匀速运动，由功能关系有：
Q=F1x0+F2x0+…+Fnx0
解得：Q=
故棒ab通过第i磁场区时的水平拉力的拉力：Fi=
图中线圈匝数n=1000匝，横截面积S=0.05m2，线圈电阻r=lΩ，处于一个均匀增强的磁场中，磁感应强度随时间变化率
正确答案
l，l.5×10-4，正
如图甲所示，质量m=6.0×10-3kg，边长L=0.20m，电阻R=1.0欧的正方形单匝金属线框abcd，置于请教等于30°的绝缘斜面上，ab边沿着水平方向，线框的下半部分处于垂直斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度B随时间t按图乙所示的规律周期性变化，线框在斜面上始终保持静止，g=10m/s2，求：
（1）在2.0×10-2～4.0×10-2s时间内线框中产生感应电流的大小
（2）在t=3.010-2s时间内线框受到斜面的摩擦力的大小和方向
（3）一个周期内感应电流在线框中产生的平均电功率．
正确答案
（1）线框中产生的感应电动势为E1，感应电流为I1，根据法拉第电磁感应定律得：
E1=
I1=
代入数据得E1=0.40V，I1=0.40A
（2）在t=3.0×10-2s时，受到的安培力 F1=B1I1L
代入数据得F1=1.6×10-2N
设此时线框受到的摩擦力大小为Ff，对线框受力分析：线框受重力、支持力、沿斜面向下的安培力、沿斜面向上的摩擦力．将重力分解，根据平衡状态的条件，在沿斜面方向上得：
mgsinα+F1-Ff=0
代入数据得 Ff=4.6×10-2N，摩擦力方向沿斜面向上．
（3）在0～1.0×10-2s时间内线框中产生的感应电动势
E1=
代入数据得 E2=0.80V
设磁场变化周期为T，线框中的电功率为P，则
代入数据得 P=0.24W
答：（1）在2.0×10-2s～4.0×10-2s时间内线框中产生感应电流的大小为0.4A．
（2）在t=3.0×10-2s时间内线框受到斜面的摩擦力的大小为4.6×10-2N，方向是沿斜面向上．
（3）一个周期内感应电流在线框中产生的平均电功率为0.24W．
如图所示，两平行的足够长光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l，导轨电阻忽略不计，导轨所在平面的倾角为α，匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直向下．长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起，总质量为m，置于导轨上．导体棒中通以大小恒为I的电流，方向如图所示（由外接恒流源产生，图中未图出）．线框的边长为d（d＜l），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合．将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直．重力加速度为g．问：
（1）线框从开始运动到完全进入磁场区域的过程中，通过线框的电量为多少？
（2）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q是多少？
（3）线框第一次向下运动即将离开磁场下边界时线框上边所受的安培力FA多大？
（4）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离xm是多少？
正确答案
（1）通过线框的电量为q=I△t=
（2）设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框上的安培力做功为W．由动能定理mgsinα•4d+W-BIld=0
且Q=-W
解得Q=4mgdsinα-BIld
（3）设线框第一次向下运动刚离开磁场下边界时的速度为v1，则接着又向下运动2d，由动能定理mgsinα•2d-BIld=0-
得v1=
安培力FA=BI′d=B•
（4）经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离xm之间往复运动．
由动能定理 mgsinα•xm-BIl（xm-d）=0
解得xm=
如图所示，两根间距为L的金属导轨MN和PQ，电阻不计，左端向上弯曲，其余水平，水平导轨左端有宽度为d、方向竖直向上的匀强磁场I，右端有另一磁场II，其宽度也为d，但方向竖直向下，磁场的磁感强度大小均为B．有两根质量均为m、电阻均为R的金属棒a和b与导轨垂直放置，b棒置于磁场II中点C、D处，导轨除C、D两处（对应的距离极短）外其余均光滑，两处对棒可产生总的最大静摩擦力为棒重力的K倍，a棒从弯曲导轨某处由静止释放．当只有一根棒作切割磁感线运动时，它速度的减小量与它在磁场中通过的距离成正比，即△v∝△x．
（1）若a棒释放的高度大于h0，则a棒进入磁场I时会使b棒运动，判断b 棒的运动方向并求出h0．
（2）若将a棒从高度小于h0的某处释放，使其以速度v0进入磁场I，结果a棒以
（3）若将a棒从高度大于h0的某处释放，使其以速度v1进入磁场I，经过时间t1后a棒从磁场I穿出时的速度大小为
正确答案
（1）根据左手定则判断知b棒向左运动．
a棒从h0高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械能守恒，有
mgh0=
得v=
a棒刚进入磁场I时E=BLv
此时感应电流大小I=
此时b棒受到的安培力大小F=BIL
依题意，有F=Kmg
求得h0=
（2）由于a棒从小于进入h0释放，因此b棒在两棒相碰前将保持静止．
流过电阻R的电量q=
又
所以在a棒穿过磁场I的过程中，通过电阻R的电量
q=
将要相碰时a棒的速度
v=
此时电流I=
此时b棒电功率Pb=I2R=
（3）由于a棒从高度大于h0处释放，因此当a棒进入磁场I后，b棒开始向左运动．由于每时每刻流过两棒的电流强度大小相等，两磁场的磁感强度大小也相等，所以两棒在各自磁场中都做变加速运动，且每时每刻两棒的加速度大小均相同，所以当a棒在t1时间内速度改变（v1-
两棒的速度大小随时间的变化图象大致如图所示：
通过图象分析可知，在t1时间内，两棒运动距离之和为v1t1，所以在t1时间内b棒向左运动的距离为△S=（v1t1-d），
距离磁场II左边界距离为
△L=
如图（a）所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距为l，导轨平面与水平面成θ角，下端通过导线连接的电阻为R．质量为m、阻值为r的金属棒ab放在两导轨上，棒与导轨垂直并始终保持良好接触，整个装置处于垂直导轨平面向上的磁场中．
（1）若金属棒距导轨下端距离为d，磁场随时间变化的规律如图（b）所示，为保持金属棒静止，求加在金属棒中央、沿斜面方向的外力随时间变化的关系．
（2）若所加磁场的磁感应强度大小恒为B′，通过额定功率Pm的小电动机对金属棒施加沿斜面向上的牵引力，使其从静止开始沿导轨做匀加速直线运动，经过时间t1电动机达到额定功率，此后电动机功率保持不变．金属棒运动的v-t图象如图（c）所示．求磁感应强度B′的大小．
（3）若金属棒处在某磁感应强度大小恒定的磁场中，运动达到稳定后的速度为v，在D位置（未标出）处突然撤去拉力，经过时间t2棒到达最高点，然后沿轨道返回，在达到D位置前已经做匀速运动，其速度大小为
正确答案
（1）金属棒沿斜面方向受力平衡，外力应沿斜面向上，设其大小为F1，则
F1-mgsinθ-B1Il=0
由图（b）可知，磁感应强度B的大小与t关系为B1=2t
回路中产生的感应电动势 E=
此时回路中的感应电流 I=
得 F1=mgsinθ+B1
（2）由图（c）可知，金属棒运动的最大速度为v0，此时金属棒所受合力为零．
设金属棒此时所受拉力大小为F2，流过棒中的电流为Im，则 F2-mgsinθ-B′Iml=0
Em=B´lv0
Pm=F2•vm
得 
解得 B′=
（3）设磁感应强度为B，棒沿斜面向上运动时，mgsinθ+BIl=ma得
a=gsinθ+
取极短时间△t，速度微小变化为△v，△v=a△t，△s=v△t
得 △v=gsinθ△t+
在上升的全过程中，∑△v=gsinθ∑△t+
即0-v=-[t2gsinθ+
又下滑到匀速时有 mgsinθ-
由上两式得s=
上升的高度H=s•sinθ=
答：
（1）加在金属棒中央、沿斜面方向的外力随时间变化的关系是F1=mgsinθ+4
（2）磁感应强度B′的大小为
（3）棒在撤去拉力后所能上升的最大高度是
如图所示，磁场的方向垂直于xy平面向里．磁感强度B沿y方向没有变化，沿x方向均匀增加，每经过1cm增加量为1.0×10-4T，即
（1）线圈中感应电动势E是多少？
（2）如果线圈电阻R=0.02Ω，线圈消耗的电功率是多少？
（3）为保持线圈的匀速运动，需要多大外力？机械功率是多少？
正确答案
（1）设线圈向右移动一距离△S，则通过线圈的磁通量变化为：
△Φ=h△S
根据法拉第电磁感应定律可感应电动势力为E=
（2）根据欧姆定律可得感应电流I=
电功率P=IE=8×10-8W
（3）电流方向是沿逆时针方向的，导线dc受到向左的力，导线ab受到向右的力．安培力的合力FA=（B2-B1）Ih=
所以外力F=FA=4×10-14N．
线圈做匀速运动，所受合力应为零．根据能量守恒得机械功率P机=P=8×10-8W．
在水平面内的光滑平行导轨MM′、NN′长度为L，它们之间距离也是L，定值电阻R连接MN，导轨平面距地面高为h．在导轨所处空间有以M′N′为边界的竖直向上的匀强磁场．将长度为L，电阻为r的金属棒ab放在导轨M′N′端并使其恰好处在磁场的边界线内，如图甲所示．已知磁场与时间的关系如图乙所示（0＜t＜t1，B=Bo；t≥t1，B=B0-kt）．t1时刻磁场的减弱，使棒ab突然掉落在离轨道末端S远处的地面上．求金属棒抛离磁场瞬间回路的电热功率P．轨道电阻不计，重力加速度为g．
正确答案
设回路电流为i，所求电功率为P=i2（R+r）
由于i=
式中e=L2
BoLv为棒切割磁感线引起的电动势，v=s
则金属棒抛离磁场瞬间回路的电热功率P=
答：金属棒抛离磁场瞬间回路的电热功率P=
在真空中一匀强电场，电场中有一质量为0.01g，带电荷量为-1×10-8C的尘埃沿水平方向向右做匀速直线运运，取g=10m/s2，求电场强度的大小和方向？
正确答案
由题，尘埃在匀强电场中沿水平方向向右做匀速直线运动，受到的电场力与重力平衡，电场力方向竖直向上，而尘埃带负电，所以电场强度方向竖直向下．根据平衡条件得：
mg=qE，得E=
答：电场强度的大小为104N/C，方向竖直向下．
一个边长为10cm匝数为1000的正方形金属线框置于匀强磁场中，线框平面与磁场垂直，线框总电阻为1Ω．磁感应强度B随时间t的变化关系如图所示，求：
（1）线框中电流的有效值；
（2）线框消耗的最大电功率．
正确答案
（1）由图可知，磁场是周期性变化的，因此线圈中产生的感应电动势也是周期性变化的．由法拉第电磁感应定律E=n
0-1s内，E1=ns
1-4s内，E2=ns
设线框中电流的有效值为I，则根据有效值的定义得
代入解得，I=
（2）线框消耗的最大电功率为Pm=
答：（1）线框中电流的有效值是
（2）线框消耗的最大电功率是0.36W．
如图甲所示，在一个正方形金属线圈区域内，存在着磁感应强度B随时间变化的匀强磁场，磁场的方向与线圈平面垂直．金属线圈所围的面积S=200cm2，匝数n=1000，线圈电阻r=1.0Ω．线圈与电阻R构成闭合回路，电阻R=4.0Ω．匀强磁场的磁感应强度随时间变化的情况如图乙所示，求：
（1）在t=2.0s时刻，通过电阻R的感应电流的大小；
（2）在t=2.0s时刻，电阻R消耗的电功率；
（3）0～6.0s内整个闭合电路中产生的热量．
正确答案
（1）根据法拉第电磁感应定律，0～4.0s时间内线圈中磁通量均匀变化，产生恒定的感应电流．
t1=2.0s时的感应电动势E1=n
根据闭合电路欧姆定律，闭合回路中的感应电流I1=
解得 I1=0.2A
（2）在t=2.0s时刻，电阻R消耗的电功率P=I12R=0.16W．
（3）根据焦耳定律，0～4.0s内闭合电路中产生的热量
Q1=I12（r+R）△t1=0.8 J
由图象可知，在4.0s～6.0s时间内，线圈中产生的感应电动势E2=n
根据闭合电路欧姆定律，t2=5.0s时闭合回路中的感应电流I2=
闭合电路中产生的热量 Q2=I22（r+R）△t2=6.4J
故0～6.0s内整个闭合电路中产生的热量Q=Q1+Q2=7.2J．
答：（1）在t=2.0s时刻，通过电阻R的感应电流的大小为0.2A；
（2）在t=2.0s时刻，电阻R消耗的电功率为0.16W；
（3）0～6.0s内整个闭合电路中产生的热量为7.2J．
如图中甲图所示矩形线圈abcd，长ab=20cm，宽bc=10cm，匝数n=200匝，线圈回路总电阻R=5Ω，整个线圈平面内均有垂直于线圈平面的匀强磁场穿过．现令该磁场的磁感强度B随时间t按图乙所示的规律变化，求：
（1）线圈回路中产生的感应电动势和感应电流的大小；
（2）当t=0.3s时，线圈的ab边所受的安培力大小；
（3）在1min内线圈回路产生的焦耳热．
正确答案
（1）由法拉第电磁感应定律可得：E=n
由闭合电路殴姆定律可得：I=
（2）通电导线受到的安培力为F=nBIL=200×15×10-2×0.4×0.2N=2.4N
（3）在1min内线圈回路产生的焦耳热：Q=I2Rt=0.42×5×60J=48J
答：（1）线圈回路中产生的感应电动势2V和感应电流的大小0.4A；
（2）当t=0.3s时，线圈的ab边所受的安培力大小2.4N；
（3）在1min内线圈回路产生的焦耳热48J．
如图所示，足够长的光滑导轨ab、cd固定在竖直平面内，导轨间距为l，b、c两点间接一阻值为R的电阻。ef是一水平放置的导体杆，其质量为m、效电阻值为R，杆与ab、cd保持良好接触。整个装置放在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直。现用一竖直向上的力拉导体杆，使导体杆从静止开始做加速度为
（1）导体杆上升到h过程中通过杆的电量；
（2）导体杆上升到h时所受拉力F的大小；
（3）导体杆上升到h过程中拉力做的功。
正确答案
解：（1）感应电量
根据闭合电路的欧姆定律
根据电磁感应定律，得
（2）设ef上升到h时，速度为v1、拉力为F
根据运动学公式，得
根据牛顿第二定律，得
根据闭合电路的欧姆定律，得
综上三式，得
（3）由功能关系，得
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