- 动量守恒定律
- 共1004题
如图所示，质量mA为4.0kg的木板A放在水平面C上，木板与水平面间的动摩擦因数μ为0.24，木板右端放着质量mB为1.0kg的小物块B（视为质点），它们均处于静止状态．木板突然受到水平向右的12N？s的瞬时冲量I作用开始运动，当小物块滑离木板时，木板的动能EM为8.0J，小物块的动能为0.50J，重力加速度取10m/s2，求
（1）瞬时冲量作用结束时木板的速度v0；
（2）木板的长度L．
正确答案
解；（1）设水平向右为正方向，有：I=mAv0 ①
代入数据得：v=3.0m/s ②
（2）设A对B、B对A、C对A的滑动摩擦力的大小分别为FAB、FBA、FCA，
B在A上滑行的时间为t，B离开A时A和B的速度分别为vA和vB，有-（FBA+FCA）t=mvA-mAv0③
FABt=mBvB④
其中FAB=FBA FCA=μ（mA+mC）g ⑤
设A、B相对于C的位移大小分别为sA和sB，有-（FBA+FCA）sA=
FABsB=EKB ⑦
动量和动能之间的关系为：mAvA=
mAvA=
木板A的长度 L=sA-sB ⑩
代入数据解得：L=0.50m
答：（1）瞬时冲量作用结束时木板的速度为3.0m/s；
（2）木板的长度L为0.50m．
图中滑块和小球的质量均为m，滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点O由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为l。开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块均静止。现将小球由静止释放，当小球到达最低点时，滑块刚好被一表面涂有粘性物质的固定挡板粘住，在极短的时间内速度减为零，小球继续向左摆动，当轻绳与竖直方向的夹角θ＝60°时小球达到最高点。求
（1）从滑块与挡板接触到速度刚好变为零的过程中，挡板阻力对滑块的冲量；
（2）小球从释放到第一次到达最低点的过程中，绳的拉力对小球做功的大小。
正确答案
解：（1）小球第一次到达最低点时，滑快和小球的速度分别为v1和v2，由机械能守恒定律得：
小球由最低点向左摆动到最高点，由机械能守恒定律得：
联立①②两式得：v1=v2=
设所求的挡板阻力对滑块的冲量为I，规定动量方向向右为正，有：I=0－mv1
解得：I=－m
（2）小球从开始释放到第一次到达最低点的过程中，设绳对小球的拉力做的功为W，由动能定理得：
联立③⑤得：
小球从开始释放到第一次到达最低点的过程中，绳对小球的拉力做的功大小为
如图所示，质量为m的小球用长度为L的轻质细绳悬挂于O点，现将它拉至A处，使细绳与竖直方向的夹角为θ（θ＜5°），然后无初速释放，不计空气阻力作用，它经过一段时间第一次到达最低点B．
求：（1）所经历的时间t
（2）该过程中重力产生的冲量大小IG
（3）该过程中小球的动量变化△P
（4）该过程中绳的拉力产生的冲量大小IF．
正确答案
（1）由单摆的周期公式可得：
T=2π
由A第一次到B，小球所用时间是四分之一周期，即：t=
（2）由于重力是恒力，由冲量定义可知重力的冲量为：IG=mgt=
（3）动量的变化等于末动量减去初动量：△P=PB-PA------------------------------④
又PA=0--------------------------------⑤
PB=mvB---------------------------------⑥
从A到B的过程中，由机械能守恒定律得：
由④⑤⑥⑦，可解得：△P=m
（1）从A到B的过程中，小球在重力和绳的拉力的冲量作用下，动量的改变量为△P，且方向水平，又因重力的冲量方向向下，所以由矢量的合成法则得：
IF2=△P2+IG2----------------------------⑨
由③⑧⑨式得：IF=m
答：（1）所经历的时间t为
（2）该过程中重力产生的冲量大小IG为
（3）该过程中小球的动量变化△P为m
（4）该过程中绳的拉力产生的冲量大小IF为m
质量是60kg的建筑工人不慎由脚手架上跌下，由于安全带的保护被悬挂起来，已知安全带长5m，缓冲时间为0.3s，试求安全带受到的平均拉力为多少？（g=10m/s2）
正确答案
设安全带被拉直时速度为v，由机械能守恒得：mgh=
设安全带的平均作用力为F，选向上方向为正，由动量定理得
Ft-mgt=0-（-mv） ②
由①②解得：F=
答：安全带受到的平均拉力为2600N．
吴菊萍徒手勇救小妞妞，被誉为“最美妈妈”． 设妞妞的质量m=10kg，从离地h1=28.5m高的阳台掉下，下落过程中空气阻力约为本身重力的0.4倍；在妞妞开始掉下时，吴菊萍立刻开始奔跑到达楼下，张开双臂在距地面高度为h2=1.5m处接住妞妞，缓冲到地面时速度恰好为零，缓冲过程可视为竖直方向的匀减速运动，缓冲过程中的空气阻力不计．g=10m/s2．求：
（1）妞妞在被接住前瞬间的速度大小；
（2）缓冲过程经历的时间；
（3）在缓冲过程中吴菊萍对妞妞冲量．
正确答案
（1）妞妞加速下落过程，被接住前瞬间速度设为v，由动能定理得：
(mg-f)(h1-h2)=
解得：v=18m/s
（2）缓冲过程为匀减速，时间设为t
则有 h2=
解得：t=
（3）缓冲过程中，对妞妞由动量定理得：mgt-I=0-mv
解得：I=
I的方向：竖直向上
答：
（1）妞妞在被接住前瞬间的速度大小是18m/s；
（2）缓冲过程经历的时间是
（3）在缓冲过程中吴菊萍对妞妞冲量大小为196.7N•S，方向：竖直向上．
在光滑的水平面上沿直线按不同的间距依次排列着质量均为m的滑块，1、2、3、…（n-1）、n，滑块P的质量也为m．P从静止开始在大小为F的水平恒力作用下向右运动，经时间T与滑块1碰撞，碰撞后滑块便粘连在一起．以后每经过时间T就与下一滑块碰撞一次，每次碰撞后均粘连在一起，每次碰撞时间极短，每个物块都可简化为质点．求
（1）第一次碰撞后瞬间的速度及第一次碰撞过程中产生的内能；
（2）发生第n次碰撞后瞬间的速度vn为多大；
（3）第n-1个滑块与第n个滑块间的距离sn-1．
正确答案
（1）设第一次碰撞前瞬间P的速度为u1，根据动量定理得：FT=mu1
得撞前瞬间的速度u1=
因碰撞时间极短，第一次碰撞后瞬间的速度为V1，根据动量守恒得：mu1=2mV1
得碰后瞬间速度V1=
第一次碰撞过程中产生的内能：△E=
（2）因每次碰撞时间极短，对从开始到发生第n次碰撞后瞬间应用动量定理：
F•nT=（n+1）mVn
解得：Vn=
（3）同理可以求出第（n-1）次碰后的速度Vn-1=
对第n次碰撞前全过程应用动量定理
FnT=nmun
得到：un=
对n-1到n之间应用动能定理：
FSn-1=
代入化简得：Sn-1=
答：
（1）第一次碰撞后瞬间的速度为度V1=
（2）发生第n次碰撞后瞬间的速度vn为
（3）第n-1个滑块与第n个滑块间的距离sn-1=
质量分别为m和3m的物块A、B用一根轻弹簧连接，置于光滑的水平面上，物块A刚好与墙接触。先用外力缓慢向左推物块B使弹簧压缩，然后撤去外力，此过程中外力做功为W，求：
(1)从撤去外力到物块A离开墙壁的过程中，墙壁对物块A的冲量。
(2)在物块A离开墙壁后的运动过程中，物块A、B的最小速度值。
正确答案
解：(1)压缩弹簧时外力做功全部转化为弹性势能，撤去外力后，物块B在弹力作用下做加速运动。在弹簧恢复原长的过程中，系统的机械能守恒。设弹簧恢复原长时，物块B的速度为vB0，有：
解得：
此过程中系统的动量变化即为墙给A的冲量，有：I=3mvB0
联立解得：
(2)当弹簧恢复原长时，物块A的速度为最小值VA0，有VA0=0
物块A离开墙壁后，在弹簧的作用下速度逐渐增大，物块B的速度逐渐减小，当弹簧再一次恢复原长时，物块A达到最大速度vA，物块B的速度减小到最小值vB，在此过程中系统的动量守恒、机械能守恒，有：
3mvB0=mvA+3mvB
联立可得：
如图所示，小球A系在细线的一端，线的另一端固定在O点，O点到水平面的距离为h，物块B质量是小球的5倍，置于粗糙的水平面上且位于O点正下方，物块与水平面间的动摩擦因数为μ。现拉动小球使线水平伸直，小球由静止开始释放，运动到最低点时与物块发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升至最高点时到水平面的距离为h/16。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求物块在水平面上滑行的时间t。
正确答案
解：设小球的质量为m，运动到最低点与物块碰撞前的速度大小为v1，取小球运动到最低点重力势能为零，根据机械能守恒定律，有
得
设碰撞后小球反弹的速度大小为v1'，同理有
得
设碰后物块的速度大小为v2，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律，有mv1=-mv1'+5mv2 ③
得
物块在水平面上滑行所受摩擦力的大小F=5μmg ⑤
设物块在水平面上滑行的时间为t，根据动量定理，有-Ft=0－5mv2 ⑥
得
质量是60kg的建筑工人不慎由脚手架上跌下，由于安全带的保护被悬挂起来，已知安全带长5m，缓冲时间为0.3s，试求安全带受到的平均拉力为多少？（g=10 m/s2）
正确答案
解：设安全带被拉直时速度为v，由机械能守恒得
设安全带的平均作用力为F，选向上方向为正，由动量定理得
Ft－mgt＝0－（-mv）
解得
图中两根足够长的平行光滑导轨，相距1m水平放置，磁感应强度B=0.4T的匀强磁场竖直向上穿过整个导轨所在的空间．金属棒ab、cd质量分别为0.1kg和0.2kg，电阻分别为0.4Ω和0.2Ω，并排垂直横跨在导轨上．若两棒以相同的初速度3m/s向相反方向分开，不计导轨电阻，求：
（1）金属棒运动达到稳定后的ab棒的速度大小；
（2）金属棒运动达到稳定的过程中，回路上释放出的焦耳热；
（3）金属棒运动达到稳定后，两棒间距离增加多少？
正确答案
（1）ab、cd棒组成的系统动量守恒，最终具有共同速度V，以水平向右为正方向，
则mcdV0-mabV0=（mcd+mab）V
∴V=1m/s
（2）根据能量转化与守恒定律，产生的焦耳热为：
Q=△ΕΚ减=
（3）对cd棒利用动量定理：
-BIL•△t=mcd（V-V0）
∴BLq=mcd （V0-V）
又 q=
∴△s=mcd（V0-V）（R1+R2）•
答：（1）金属棒运动达到稳定后的ab棒的速度大小是1m/s；
（2）金属棒运动达到稳定的过程中，回路上释放出的焦耳热是1.2J；
（3）金属棒运动达到稳定后，两棒间距离增加1.5 m
如图所示，一辆质量为1.5kg的小车静止在光滑水平面上，一个质量为0.50kg的木块，以2.0m/s的速度水平滑上小车，最后与小车以相同的速度运动．小车上表面水平，木块与车上表面的动摩擦因数是0.20．g取10m/s2，求
（1）木块与小车共同运动的速度的大小；
（2）木块在小车上相对滑行的时间；
（3）设小车与光滑水平面足够长，若水平面右端也有一高度与左端一样的平台，且小车与两边平台碰撞过程中均没有能量损失，求从木块滑上小车开始到木块与小车第n共同运动的时间及木块在小车上滑行的路程．
正确答案
（1）根据运动过程中动量守恒得：
mv0=（M+m）v1解得：v1=
（2）根据动量定理得：
μmgt=Mv1-0
t1=
（3）若M＞m，从第一次木板以v1反弹开始，有
Mv1-mv1=（M+m）v2Mv2-mv2=（M+m）v3…
Mvn-1-mvn-1=（M+m）vn解得：
v2=
M-m
M+m
v1
v3=
M-m
M+m
v2
…
vn=
M-m
M+m
vn-1=(
M-m
M+m
)n-1
m
M+m
v0
根据动能定理得：
μmgx1=
μmgx2=
…
μmgxn=
解得：
x1=
M
2μg(M+m)
v02
x2=
2M
μg(M+m)
v12
x3=
2M
μg(M+m)
v22=
2M
μg(M+m)
(
M-m
M+m
)2v12
xn=
2M
μg(M+m)
vn-12=
2M
μg(M+m)
(
M-m
M+m
)2(n-2)v12
x2，x3，x4，…xn是一个首项为
公比为(
M-m
M+m
)2 的等比数列，共有n-1项
Sn=x1+
M-m
M+m
)2(n-2)
=x1+
=
=
m
M+m
)2
=
M-m
M+m
)2(n-1)]
在板上滑行的时间（不包含从共速至与平台碰撞的时间）
-μmgt2=Mv2-Mv1-μmgt3=Mv3-Mv2…
-μmgtn=Mvn-Mvn-1t2=2Mμg(M+m)v1t3=2Mμg(M+m)v2=2Mμg(M+m) •M-mM+mv1tn=2Mμg(M+m)vn-1=tn=2Mμg(M+m) •(M-mM+m)n-2v1t2，t3，t4，…tn是一个首项为
tn=t1+
M-m
M+m
)n-2=t1+
=
=
=
M-m
M+m
)(n-1)]
同理可得：若M＜m，
x2，x3，x4，…xn是一个首项为
公比为(
m-M
m+M
)2 的等比数列，
共有n-1项
Sn=x1+
m-M
m+M
)2(n-2)
=x1+
m-M
m+M
)2(n-2)
=
=
m
M+m
)2
=
m-M
m+M
)2(n-1)]
在板上滑行的时间（不包含从共速至与平台碰撞的时间）
-μmgt2=mv2-mv1-μmgt3=mv3-mv2…
-μmgtn=mvn-mvn-1t2=
2m
μg(m+M)
v1
t2=
2m
μg(m+M)
v2=
2m
μg(m+M)
•
所以tn=
2m
μg(m+M)
vn-1=
2m
μg(m+M)
•(
m-M
m+M
)n-2v1
t2，t3，t4，…tn是一个首项为
一个质量为60kg的杂技演员练习走钢丝时使用安全带，当此人走到安全带上端的固定点的正下方时不慎落下，下落5m时安全带被拉直，此后又经过0.5s的缓冲，人的速度变为零，求这0.5s内安全带对人的平均拉力多大？（g取10m/s2）
正确答案
设演员下落5m的速度大小v1，有
mgh=
设安全带对人的平均拉力大小为F，并取向下方向为正
根据动量定理得：（mg-F）t=0-mv1 ②
联立①②式解得：F=1800N
答：安全带对人的平均拉力1800N．
如图所示，光滑水平面上静止一带挡板的小车B，其光滑水平表面上放有质量为m的小物块A，A与小车挡板间距为L．现对小物块A始终施加一向右的水平恒力F，当A与挡板相碰后（水平恒力F较小，在碰撞时可忽略），小车B的速度是小物块A碰前的速度的1/3，已知小车B的质量为5m，小物块A始终未从小车上掉下，求
（1）小物块A第一次与小车挡板碰撞后，相对地面的速度大小；
（2）小物块A第一次与小车挡板碰撞后（第二次碰撞前）据小车挡板的最远距离．
正确答案
（1）对A：FL=
v0=
碰撞过程中动量守恒：mv0=Mv+mv1又v=
∴v1=-
（2）第一次碰撞后，A相对地面先向左减速，某时刻速度为0，后再向右加速，当速度为v时距离小车挡板最远，设整个过程经历的时间为t
则 Ft=mv-mv1得：t=
A向右速度为v时，距第一次碰撞点的距离为S1
由v2-
a=
B车在t内向右运动的距离 S2=vt=
∴S=S1+S2=
答：（1）小物块A第一次与小车挡板碰撞后，相对地面的速度大小v1=-
（2）小物块A第一次与小车挡板碰撞后（第二次碰撞前）据小车挡板的最远距离为L．
水平光滑的地面上，质量为m的木块放在质量为M的平板小车的左端，M＞m，它们一起以大小为v0的速度向右做匀速直线运动，木块与小车之间的动摩擦因数为µ，小车与竖直墙碰后立即以v0向左运动，m没从M上掉下．
求：（1）它们的最后速度？
（2）木块在小车上滑行的时间？
（3）小车至少多长？
正确答案
（1）小车与墙壁碰撞后，小车与滑块系统动量守恒，有：（M+m）v=Mv0-mv0
解得：v=
（2）滑块相对与平板的滑动过程，根据动量定理，有：µmgt=m（v0+v）
解得：t=
（3）对小车和滑块系统运用功能关系列式，有：
解得：S=
答：（1）它们的最后速度为
（2）木块在小车上滑行的时间为
（3）小车至少长
质量为0.4kg的小球沿光滑水平面以5m/s的速度冲向墙壁，又以4m/s的速度被反向弹回，如图所示，小球跟墙的作用时间为0.05s，求：
（1）小球的初、末动量？
（2）小球碰撞墙壁前后动量的变化？
（3）小球受到墙的平均作用力？
正确答案
解：选向右的方向为正方向
（1）P=mv=0.4×5kg·m/s=2 kg·m/s，P′=mv′=-0.4×4 kg·m/s=-1.6 kg·m/s
（2）△P= P′－P=-1.6 kg·m/s－2 kg·m/s=-3.6 kg·m/s
（3）由FNt=△P 得FN=△P/t=-72N
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