热门试卷

解：(Ⅰ)由已知得。

(Ⅱ)，，…

，…

∴猜想：，

以下用数学归纳法证明之。

①当n=1时，，猜想成立；

②当n=k（k≥1，k∈N*）时，猜想成立，即，

那么

，

，

∴n=k+1时，猜想成立，

由①②，根据数学归纳法原理，对任意n∈N*，猜想成立；

∴当n为奇数时，；

当n为偶数时，；

即数列{an}的通项公式为。

 (Ⅲ)由(Ⅱ)得，

显然；

当n为偶数时，

；

当n为奇数时，

综上所述，。

解：（1）由题设得，且均为非负整数，所以a3的可能的值为1、2、5、10，

若a3=1，则a4=10，，与题设矛盾；

若a3=5，则a4=2，，与题设矛盾；

若a3=10，则a4=1，，与题设矛盾；

所以a3=2；

（2）用数学归纳法证明：

①当，等式成立；

②假设当时等式成立，即，

由题设，

因为，

所以，

也就是说，当n=k+1时，等式成立。

根据①②，对于所有n≥3，有。

（3）由及

得……，

即……，

所以。

解：（1）n=2时，

由已知a1=2，a2=6，得|36-2a3|＜1，

因为a3为正整数，

所以a3=18，同理a4=54。

（2）由（1）可猜想：an=2·3n-1，（*）

给出证明：①n=1，2时（*）式成立；

②假设当n=k-1与n=k时（*）式成立，即

于是

整理得

于是得

因为ak+1为正整数，

所以

即当n=k+1时（*）式仍成立

综上所述，对于任意的n∈N*，有成立

故数列{an}的通项公式为。

（3）由

得

故。

解：（1）由题设有，a1=1，解得，

由题设又有，b1=4，解得；

（2）由题设，2an+1为bn与bn+1的等比中项，a1=1，b1=4，及，，

进一步可得，

猜想，，n∈N*，

先证，n∈N*，

当n=1时，，等式成立；

当n≥2时用数学归纳法证明如下：

（1）当n=2时，，等式成立；

（2）假设n=k时等式成立，即，k≥2，

由题设，，　　① 　　

，②

①的两边分别减去②的两边，整理得，

从而．

这就是说，当n=k+1时等式也成立．

根据（1）和（2）可知，等式对任何的n≥2成立．

综上所述，等式对任何的n∈N*都成立；

再用数学归纳法证明，n∈N*。

（1）当n=1时，=4，等式成立；

（2）假设当n=k时等式成立，

即，那么，

这就是说，当n=k+1时等式也成立．

根据（1）和（2）可知，等式对任何的n∈N*都成立。