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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点,椭圆的右顶点为,点是椭圆上位于轴上方的动点,直线,与直线分别交于两点。

(1)求椭圆的方程;

(2)(ⅰ) 设直线,的斜率分别为,求证为定值;

(ⅱ)求线段的长度的最小值。

正确答案

见解析

解析

(1).椭圆 的方程为.                        ………3分

(2)(ⅰ)设点的坐标为

                      ………5分

∵点在椭圆上,∴,∴

                                        ………7分

(ⅱ) 设直线的方程为

 且                                 ………9分

∴ 直线的方程为                   ………10分

,                                      ………11分

,                                 ………12分

,           …………13分

当且仅当,即时等号成立,

时,线段的长度取得最小值为.     …………14分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知F1,F2分别是椭圆C:的上、下焦点,其中F1也是抛物线C1:x2=4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且

(1)求椭圆C1的方程;

(2)已知A(b,0),B(0,a),直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆C1相交于点E,F两点,求四边形AEBF面积的最大值。

正确答案

见解析。

解析

(1)由抛物线C1:x2=4y的焦点,得焦点F1(1,0)。

设M(x0,y0)(x0<0),由点M在抛物线上,

,解得

而点M在椭圆C1上,∴,化为

联立,解得

故椭圆的方程为

(2)由(1)可知:|AO|=,|BO|=2.设E(x1,y1),F(x2,y2),其中x1<x2

把y=kx代人,可得,x2>0,y2=﹣y1>0,且

故四边形AEBF的面积S=S△BEF+S△AEF==

==

当且仅当时上式取等号。

∴四边形AEBF面积的最大值为

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知椭圆的离心率为,直线与以原点为圆心,

椭圆的短半轴为半径的圆相切。

(1)求椭圆的方程;

(2)设椭圆与曲线的交点为,求面积的最大值。

正确答案

见解析

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知椭圆的右顶点,离心率为为坐标原点。

(1)求椭圆的方程;

(2)已知(异于点)为椭圆上一个动点,过作线段的垂线交椭圆于点,求的取值范围.

正确答案

(1)

(2)

解析

(1)因为 是椭圆的右顶点,所以 . 又 ,所以 .

所以 . 所以 椭圆的方程为.    ……………3分

(2)当直线的斜率为0时,为椭圆的短轴,则.

所以 .                      ………………………………………5分

当直线的斜率不为0时,设直线的方程为

则直线DE的方程为.           ………………………………………6分

. 即.

所以  所以       ………………………………8分

所以 .即 .

类似可求.   所以    ………………11分

.   

,则.

所以 是一个增函数.所以 .

综上,的取值范围是.    ………………………………………13分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

设椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,左焦点到直线的距离等于长半轴长。

(1)求椭圆的方程;

(2)过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中垂线与轴相交于点,求实数的取值范围。

正确答案

(1)

(2)

解析

(1)由已知可得

到直线的距离为,所以,            ,,,,,,,,,,,3分

解得

所求椭圆方程为.                     ,,,,,,,,,,,,,,,,5分

(2)由(1)知, 设直线的方程为:

    消去 , ,,,,7分

因为过点,所以恒成立

中点                           ,,,,,,,,,,,,,,,9分 当时,为长轴,中点为原点,则          ,,,,,,,,,,,,,,10分

中垂线方程

                           ,,,,,,,,,11分

, 可得

综上可知实数的取值范围是,                   ,,,,,,,,,,,,,,13分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

抛物线的顶点在原点焦点在轴上,且经过点,圆过定点,且圆心在抛物线上,记圆轴的两个交点为

(1)求抛物线的方程;

(2)当圆心在抛物线上运动时,试问是否为一定值?请证明你的结论;

(3)当圆心在抛物线上运动时,记,求的最大值。

正确答案

见解析。

解析

(1)

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

以双曲线的右焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程是_______.

正确答案

解析

知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

如图,已知平面内一动点到两个定点的距离之和为,线段的长为

(1)求动点的轨迹的方程;

(2)过点作直线与轨迹交于两点,且点在线段的上方,

线段的垂直平分线为

①求的面积的最大值;

②轨迹上是否存在除外的两点关于直线对称,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)因为,轨迹是以为焦点的椭圆,                    

(2)以线段的中点为坐标原点,以所在直线为轴建立平面直角坐标系,

可得轨迹的方程为

最大值为

②结论:当时,显然存在除外的两点关于直线对称

下证当不垂直时,不存在除外的两点关于直线对称

证法1:假设存在这样的两个不同的点

设线段的中点为   直线

由于上,故        ①

在椭圆上,所以有

两式相减,得

将该式写为

并将直线的斜率和线段的中点,表示代入该表达式中,

     ②

①、②得,由(1)代入

的中点为点,而这是不可能的.

此时不存在满足题设条件的点.

证法2:假设存在这样的两个不同的点

,故直线经过原点。

直线的斜率为,则假设不成立,

故此时椭圆上不存在两点(除了点、点外)关于直线对称

知识点

直线与圆锥曲线的综合问题直接法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为

A2

B-2

C4

D-4

正确答案

C

解析

知识点

圆锥曲线中的范围、最值问题
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

在平面直角坐标系中,点到两点的距离之和为,设点的轨迹为曲线.

(1)写出的方程;

(2)设过点的斜率为)的直线与曲线交于不同的两点,,点轴上,且,求点纵坐标的取值范围.

正确答案

(1)的方程为

(2)

解析

(1)由题设知,

根据椭圆的定义,的轨迹是焦点为,长轴长为的椭圆,

设其方程为

,所以的方程为. ………5分

(2)依题设直线的方程为.将代入并整理得,

 . .              ………6分

  ..………7分

的中点为,则,即. ………8分

因为

所以直线的垂直平分线的方程为, ……9分

解得,, .………10分

时,因为,所以; .………12分

时,因为,所以.  .………13分

综上得点纵坐标的取值范围是.   .………14分

知识点

直线与圆锥曲线的综合问题直接法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题
百度题库 > 高考 > 文科数学 > 圆锥曲线的综合问题

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