圆锥曲线的综合问题
共211题

圆锥曲线的综合问题
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题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知圆:交轴于A,B两点,曲线是以AB为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F,若P是圆上一点,连结PF,过原点作直线PF的垂线交直线x=-2于点Q.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当点P在圆上运动时（不与A、B重合）,求证:直线PQ与圆相切。

正确答案

解:（Ⅰ）因为,所以c=1,则b=1,

所以椭圆C的标准方程为

（Ⅱ）当点P在圆O上运动时,

设（）,则,

所以,,

所以直线OQ的方程为所以点Q（-2,）

所以,又

所以,即OP⊥PQ,

当，，故直线PQ始终与圆O相切

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．设椭圆焦点坐标为F1（-c,0）, F2（c,0）,点Q是椭圆短轴上的顶点，且满足．

（1）求椭圆的方程；

（2）设A,B是圆与与y轴的交点，是椭圆上的任一点，求的最大值。

正确答案

（1），

故a2=8+8=16,故椭圆方程为：．

（2）令x=0,得y=3或y=1．故A（0，3）,B（0，1）．

设P（x,y）,则=（-x,3-y）·(-x,1-y)=x2+(3-y)(1-y)= x2+y2-4y+3．

又，故x2=16-2 y2．

所以=16-2 y2+y2-4y+3=-2（y+1）2+21

又，故y=-1时，取最大值21．

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知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

9．以双曲线的左焦点F为圆心，作半径为b的圆F，则圆F与双曲线的渐近（）

A相交

B相离

C相切

D不确定

正确答案

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知识点

直线与圆的位置关系双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

10．已知离心率为的双曲线C：的左焦点与抛物线y2=mx的焦点重合，则实数m=（）

正确答案

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知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

8. 如图，在中，边上的高分别为，垂足分别是，则以为焦点且过的椭圆与双曲线的离心率分别为，则的值为（）

正确答案

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知识点

椭圆的几何性质双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

14．已知圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是__________。

正确答案

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知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

10．点P是双曲线与圆在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）

正确答案

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知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

20. 如图，已知抛物线：和⊙：，过抛物线上一点作两条直线与⊙相切于、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点到抛物线准线的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；

（3）若直线在轴上的截距为，求的最小值

正确答案

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知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

20．设椭圆C：的左焦点为，上顶点为，过点作垂直于直线交椭圆于另外一点,交轴正半轴于点，且

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过三点的圆恰好与直线l：相切，求椭圆C的方程。

正确答案

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椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

10．过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（）

D（1，2）

正确答案

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知识点

双曲线的几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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