热门试卷

（1）由题知圆柱的底面半径为2x，半球的半径为3x．

设圆柱的高为h（cm）．因为工艺品的体积为34πcm3，所以×(3x)3+π(2x)2h=34π，

所以h=-x，所以工艺品的表面积为

S=×4π(3x)2+2π(2x)h+π(3x)2+2×π(2x)2

=35πx2+4πx(-x)

=17π(x2+).

由x＞0且h=-x＞0，得0＜x＜.

所以S关于x的函数关系式是S=17π(x2+)，0＜x＜.

（2）由（1）知，S′=17π(2x-)=，0＜x＜.令S'=0，得x=1．

当0＜x＜1时，S'＜0，所以S关于x∈（0，1]是单调减函数；

当1＜x＜时，S'＞0，所以S关于x∈[1，)是单调增函数．

所以，当x=1时，S取得最小值Smin=17π(12+)=51π，此时h=4．

答：按照圆柱的高为4cm，圆柱的底面半径为2cm，半球的半径为3cm设计，工艺品的表面积最小，为51πcm2．

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）.

试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问，由于D、E分别为AB、AC中点，所以利用三角形的中位线得出∥，再利用线面平行的判定直接得到结论；第二问，由，而∥得，而D为AB中点，PA=PB，得，所以利用线面垂直的判定得平面，再利用线面垂直的性质得；第三问，由于，利用面面垂直的性质得平面，所以PD是三棱锥的高，而，所以.

（1）因为，分别为，中点，

所以∥，

又平面，平面，

所以∥平面.                          4分

（2）连结，

因为∥，又°，

所以.

又，为中点，

所以.

所以平面，

所以.        9分 

（3）因为平面平面，   有，

所以平面，

所以.      14分 

（1）参考解析；（2）参考解析；（3）

试题分析：（1）由，，即可得到线段成比例，即得到直线平行，再根据直线与平面平行的判断定理即可得到结论.

（2）由平面平面，于点，并且AC是平面PAC与平面ABC的交线，根据平面垂直的性质定理即可得PD垂直平面ABC，再根据平面与平面垂直的判断定理即可得到结论.

（3）由即可得AC=3.又由，， 在三角形ABC中根据余弦定理即可求得BC的值.所以三角形ABC的面积可以求出来，由于PD垂直于平面ABC所以PD为三棱锥的高，即可求得结论.

（1），  2分

           3分

（2）因为平面平面，

且平面平面，

平面，，

所以平面，        6分

又平面，

所以平面平面．    7分

（3）由（2）可知平面．

法一：中，，

由正弦定理，得，

因为，所以，则，因此，       8分

△的面积．                10分

所以三棱锥的体积．            12分

法二：中，，，由余弦定理得：

，所以，

所以．                                8分

△的面积．      10分

所以三棱锥的体积．              12分

（1）；(2)见解析；（3）.

试题分析：（1）根据四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，知高为PC="2." 应用体积计算公式即得；

(2)连结AC，根据ABCD是正方形，得到BD⊥AC ，由PC⊥底面ABCD 得到BD⊥PC，推出BD⊥平面PAC；由于不论点E在何位置，都有AE平面PAC，故得BD⊥AE；

（3）设相交于，连,可知是二面角P-BD-C的的一个平面角，计算其正切即得二面角P-BD-C的正切值.

试题解析：（1）该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PC⊥底面ABCD，且PC="2."

∴           4分

(2)连结AC，∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC

又∵∴BD⊥平面PAC　

∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC 

∴BD⊥AE           8分

（3）设相交于，连,由四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PC⊥底面ABCD知，是二面角P-BD-C的的一个平面角，,即二面角P-BD-C的正切值为.

（1）见解析   （2）

(1)如图所示，由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连接BF、FH、AH，则FH=ED，又AB＝ED，

∴FH=AB，

∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH，

又因为BF⊄平面ACD，AH⊂平面ACD，

∴BF∥平面ACD.

(2)取AD中点G，连接CG.

因为AB⊥平面ACD，∴CG⊥AB，又CG⊥AD，

∴CG⊥平面ABED，即CG为四棱锥C—ABED的高，求得CG＝，

∴VC—ABED＝··2·＝.

（1）证明过程详见试题解析；（2）证明过程详见试题解析；（3）.

试题分析：（1）要证明平面//平面，就是要在一个平面内找两条相交直线平行另一个平面，从题目所给出的条件可以容易得到在平面中，,从而得到平面//平面；（2）要证明，可取的中点，连结,由条件得到,由于,所以有；（3）由于，所以求三棱锥的体积可以转化成求和,而和即可整合成,所以求得,可得所求体积为.

试题解析：（1）证明：∵ E、F分别是AC、BC的中点，

∴  

∵

∴

∵  

∴  

（2）证明：取的中点，连结、，

∵ △和△都是以为斜边的等腰直角三角形，

∴

∵

∴

∵

∴

（3）解：在等腰直角三角形中，，是斜边的中点，

∴

同理. 

∵

∴ △是等边三角形，

∴  

∵

所以

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．

试题分析：（Ⅰ）证明：⊥，证明两线垂直，只需证明一线垂直另一线所在的平面，从图上看现有的平面都不满足，需重新构造，注意到，是边长为的正三角形，可考虑取中点，连结，，这样易证平面，从而可得；（Ⅱ）求三棱锥的体积，在这里的面积不容易求，且Ｂ到平面的距离也不易求，故可等体积转化，换为求三棱锥的体积，由题意，，为的中点，故到平面的距离就等于点到平面的距离的，从而可得三棱锥的体积．

试题解析：（Ⅰ）证明：如图，取中点，连结，．

∵，∴ ．     2分

又∵是正三角形， ∴．    

∵ ，

∴⊥平面．     4分

又在平面内，∴⊥．   6分

（Ⅱ）∵是的中点，

∴．    8分

∵平面⊥平面，，∴平面．

又∵，，∴，即点到平面的距离为1．

∵是的中点，∴点到平面的距离为．      10分

∴．      12分

（1）见解析     （2）

(1)因为EA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以EA⊥AC,即ED⊥AC.

又因为AC⊥AB,AB∩ED=A,所以AC⊥平面EBD.

因为BD⊂平面EBD,所以AC⊥BD.

(2)因为点A,B,C在圆O的圆周上,且AB⊥AC,所以BC为圆O的直径.

设圆O的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,

解得

所以BC=4,AB=AC=2.

以下给出求三棱锥E-BCD体积的两种方法：

方法一：由(1)知,AC⊥平面EBD,

所以VE-BCD=VC-EBD=S△EBD×CA,

因为EA⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,

所以EA⊥AB,即ED⊥AB.

其中ED=EA+DA=2+2=4,

因为AB⊥AC,AB=AC=2,

所以S△EBD=ED×AB=×4×2=4,

所以VE-BCD=×4×2=.

方法二：因为EA⊥平面ABC,

所以VE-BCD=VE-ABC+VD-ABC=S△ABC×EA+

S△ABC×DA=S△ABC×ED.

其中ED=EA+DA=2+2=4,

因为AB⊥AC,AB=AC=2,

所以S△ABC=×AC×AB=×2×2=4,

所以VE-BCD=×4×4=.

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）连接，根据中位线可得，再根据线面平行的判定定理证平面。（2）转化为以为顶点，根据棱锥体积公式可直接求得。

试题解析：（1）证：连接,由分别是的中点

                             3分

平面,平面,     5分

平面                     6分

(2) 三棱柱是直三棱柱，,             8分

又是的中点.      9分

      10分

     12分