双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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题型：单选题

单选题

已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，焦点到双曲线C的渐近线的距离为，则双曲线C的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：由题意，双曲线焦点到渐近线的距离为，

又b2=c2-a2，代入得4a2=3c2，解得，即，

故选D．

题型：单选题

单选题

已知A是双曲线的左顶点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上一点，G是△PF1F2的重心，若=λ，则双曲线的渐近线方程为（　　）

D与λ的取值有关

正确答案

解析

解：由题意，PG=2GO，GA∥PF1，

∴2OA=AF1，

∴2a=c-a，∴c=3a，

∴b=2a，

∴双曲线的渐近线方程为y=±2x．

故选：B．

题型：单选题

单选题

mn＜0是方程=1表示实轴在x轴上的双曲线的（　　）

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

解析

解：当mn＜0时，分m＜0、n＞0和m＞0、n＜0两种情况

①当m＜0、n＞0时，方程=1表示焦点在y轴上的双曲线；

②当m＞0、n＜0时，方程=1表示焦点在x轴上的双曲线

因此，mn＜0时，方程=1不一定表示实轴在x轴上的双曲线．

而方程=1表示实轴在x轴上的双曲线时，m＞0、n＜0，必定有mn＜0

由此可得：mn＜0是方程=1表示实轴在x轴上的双曲线的必要而不充分条件

故选：B

题型：填空题

填空题

已知点F1、F2分别为-=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为9a，则这个双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：由P为双曲线左支上的任意一点，

则|PF2|-|PF1|=2a，

即有|PF2|=|PF1|+2a，

令|PF1|=t（t≥c-a），

则===t++4a，

若t++4a≥2+4a=8a，

当且仅当t=2a时，取最小值8a，则由题意可得，c-a＞2a，即有c＞3a．

故[c-a，+∞）是增区间，即有c-a++4a=9a，

化简得，10a2-7ac+c2=0，

解得c=2a（舍去）或c=5a．

则离心率为e==5．

故答案为：5．

题型：简答题

简答题

已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．

正确答案

解：设此双曲线的方程为y2-3x2=k（k≠0），

当k＞0时，a2=k，b2=，c2=k，此时焦点为（0，±），

由题意得：3=，解得k=27，双曲线的方程为y2-3x2=27；

当k＜0时，a2=-，b2=-k，c2=-k，此时焦点为（±，0），

由题意得：3=，解得k=-9，双曲线的方程为y2-3x2=-9，即3x2-y2=9．

∴所求的双曲线方程为为y2-3x2=27或3x2-y2=9．

解析

解：设此双曲线的方程为y2-3x2=k（k≠0），

当k＞0时，a2=k，b2=，c2=k，此时焦点为（0，±），

由题意得：3=，解得k=27，双曲线的方程为y2-3x2=27；

当k＜0时，a2=-，b2=-k，c2=-k，此时焦点为（±，0），

由题意得：3=，解得k=-9，双曲线的方程为y2-3x2=-9，即3x2-y2=9．

∴所求的双曲线方程为为y2-3x2=27或3x2-y2=9．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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