双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
共2157题

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双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
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题型：单选题

单选题

已知双曲线的两条渐近线为l1，l2，过右焦点F作垂直l1的直线交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，则双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：∵b＞a＞0，∴渐近线斜率为：k＞1，

∴=e2-1＞1，

∴e2＞2，

∴|AB|2=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，

∴|AB|=2（|OB|-|OA|），

∵|OA|+|OB|=2|AB|，

∴|OA|=|AB|，

∴=，

而在直角三角形OAB中，注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=

而由对称性可知：OA的斜率为k=tan（-∠AOB）

∴=，∴2k2-3k-2=0，∴k=2或（k=-舍去）；

∴=2，

∴e=．

故选：B．

题型：简答题

简答题

已知双曲线x2-=1的左右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于A、B两点且A在x轴上方，证明：•为定值．

正确答案

证明：双曲线的右焦点为2（，0），左焦点为（-，0），

（1）当直线AB垂直于轴时，A（，4），B（，-4），

∴•=（2，4）•（2，-4）=4，

（2）当直线的斜率存在时，设直线AB的方程为：=k（），

代入双曲线方程，消去得（4-k2）2+2k2─5k2-4=0，

设A（1，1），B（2，2），

∴1+2=，12=，

∴•=（1+1）•（2+，2）=x12+（xx1+2）+5+k2（xx1-）（xx2-）=4，

综上所述，•为定值4．

解析

证明：双曲线的右焦点为2（，0），左焦点为（-，0），

（1）当直线AB垂直于轴时，A（，4），B（，-4），

∴•=（2，4）•（2，-4）=4，

（2）当直线的斜率存在时，设直线AB的方程为：=k（），

代入双曲线方程，消去得（4-k2）2+2k2─5k2-4=0，

设A（1，1），B（2，2），

∴1+2=，12=，

∴•=（1+1）•（2+，2）=x12+（xx1+2）+5+k2（xx1-）（xx2-）=4，

综上所述，•为定值4．

题型：填空题

填空题

设F1、F2是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于______．

正确答案

解析

解：双曲线的两个焦点F1（-5，0），F2（5，0），|F1F2|=10，

由3|PF1|=4|PF2|，设|PF2|=x，则|PF1|=x，

由双曲线的性质知x-x=2，解得x=6．

∴|PF1|=8，|PF2|=6，

∵|F1F2|=10，∴∠F1PF2=90°，

∴△PF1F2的面积=×8×6=24．

故答案为：24．

题型：单选题

单选题

（2015•安庆校级模拟）已知双曲线-=1的两条渐近线与椭圆+=1在第一、四象限交于A，B两点，若椭圆的左焦点为F，当△AFB的周长最大时，求双曲线的离心率（　　）

正确答案

解析

解：由题意，△AFB的周长最大时，AB经过右焦点，所以A的坐标是（2，3），

所以双曲线中=，

所以双曲线的离心率e==，

故选：C．

题型：单选题

单选题

已知+=1（m＞0，n＞0），当mn取最小值时，双曲线-=1的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：由m＞0，n＞0，+=1得：1=+≥2，

可得mn≥8，

当且仅当n=2m=4，mn取得最小值8．

即有双曲线-=1为-=1，

即有a=2，b=2，c==2．

e==．

故选：C．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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