- 基本不等式及不等式的应用
- 共144题
20．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），
其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x（单位：元）。
（Ⅰ）将y表示为x的函数：
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
正确答案
（Ⅰ）如图，设矩形的另一边长为a m，
则
由已知xa=360,得a=
（II）
即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元。
解析
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知识点
已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＞
正确答案
见解析
解析
解析：（1）f′(x)＝lnx＋1，
当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈时，
f′(x)＞0，f(x)单调递增。
（2）2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，
设h(x)＝2lnx＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝，
①当x∈(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，
②当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，
所以a≤h(x)min＝4.
（3）证明：问题等价于证明xlnx＞
由（1）可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是
知识点
若点G为△ABC的重心，且AG⊥BG，则sinC的最大值为 。
正确答案
解析
设AB中点为O，连接AO，可得重心G在CO上且
以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立如图所示直角坐标系
设AB=2，则A（﹣1，0），B（1，0），
设C（x，y），可得G（
∵AG⊥BG，∴点G在以AB为直径的圆上运动（A、B两点除外）
由此可得（
因此，点C在以原点为圆心，半径为3的圆上运动（x轴上两点除外）
在点C的运动中观察∠C的变化，可得当C点在y轴时，∠C达到最大值
而且sinC同时达到最大值。
此时tan
故选：
知识点
某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S。
（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；
（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？
正确答案
见解析。
解析
（1）在△BCD中，∵
∴
则
（2）
令S'=0，得
当
当
∴当
此时，
知识点
一直两个非零向量
正确答案
解析
略
知识点
某学校拟建一块周长为400米的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，矩形的长应该设计成 米。
正确答案
答案：100
解析
略
知识点
若两个正实数
A
B
C(-2,4)
D(-4,2)
正确答案
解析
知识点
15. 已知函数
正确答案
解析
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知识点
20. 已知点
（1）求经过点
（2）已知点
（3）在（2）的条件下，求对于所有
正确答案
（1）
（2）
（3）由（2）得
解析
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知识点
14．己知平行四边形的周长为6，则其对角线长的平方和的最小值是 .
正确答案
9
解析
试题分析：本题属于平面向量和基本不等式的问题，题目的难度较小。注意转化为平面向量求解。
考查方向
本题主要考查了平面向量和基本不等式的问题。
解题思路
本题考查平面向量，解题步骤如下：
设平行四边形的两邻边分别为向量a,b，夹角为θ。则对角线的平方和为
（a+b）2+(a-b)2=2a2+2b2≥（a+b）2=9。
易错点
本题必须注意转化为平面向量的问题求解，忽视则会出现错误。
知识点
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