与圆有关的轨迹问题
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· 与圆有关的轨迹问题

与圆有关的轨迹问题
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知圆：及定点，点是圆上的动点，点在上，点在上，且满足＝2，·＝。

（1）若，求点的轨迹的方程；

（2）若动圆和（1）中所求轨迹相交于不同两点，是否存在一组正实数，使得直线垂直平分线段，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）点为的中点，

又，

或点与点重合，∴

又

∴点的轨迹是以为焦点的椭圆，

且，

∴的轨迹方程是

（2）不存在这样一组正实数，下面证明：

由题意，若存在这样的一组正实数，当直线的斜率存在时，

设之为，故直线的方程为：

，设，中点，

则，两式相减得：。

注意到，

且，

则， ②

又点在直线上，，

代入②式得：。

因为弦的中点在⑴所给椭圆内，故，

这与矛盾，所以所求这组正实数不存在。

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

则此时，

代入①式得，这与是不同两点矛盾。

综上，所求的这组正实数不存在。

知识点

与圆有关的轨迹问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，。

（1）求圆的圆心坐标；

（2）求线段的中点的轨迹的方程；

（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

正确答案

（1）圆C1：X2+Y2-6X+5=0化为,所以圆C1的圆心坐标为（3,0）

（2）设线段AB的终点M（x0，y0），由圆的性质可得C1M垂直于直线L

设直线L的方程为y=mx，所以,

所以即

因为动直线L与圆C1相交，所以所以m2<

所以，所以，解得或，又因为，所以。

所以满足

即的轨迹的方程为。

（3）由题意知直线表示过定点，斜率为的直线。

结合图形，表示的是一段关于X轴对称，起点为按逆时针方向运动到的圆弧.根据对称性，只需讨论在X轴对称下方的圆弧.设，则,而当直线与轨迹相切时，，解得.在这里暂取，因为，所以

结合图形，可得对于X轴对称下方的圆弧，当或时，直线L与X轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知或。

综上所述：当或时，直线L：与曲线只有一交点。

解析

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知识点

直线与圆的位置关系直线与圆相交的性质与圆有关的轨迹问题

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