函数y=Asin(ωX+φ)的单调性与周期性
共1115题

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题型：单选题

单选题

已知命题：p：函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为π；命题q：函数的图象关于原点对称，则下列命题中为真命题的是（　　）

Ap∧q

Bp∨q

C¬p

D（¬p）∨q

正确答案

解析

解：因为p：函数f（x）=sinxcosx=sin2x，所以它的最小正周期为π，是正确的命题；命题q：函数=cosx，它的图象关于原点对称，是不正确的命题，

所以p∧q，不正确；p∨q，正确；¬p，不正确；（¬p）∨q不正确；

故选B．

题型：简答题

简答题

已知向量=（sinωx，cosωx），=（cosωx，cosωx），其中ω＞0，函数f （x）=2•-1的最小正周期为π．

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求函数f （x）在[，]上的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）函数f （x）=2•-1=2sinωxcosωx+2cosωxcosωx

=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），

由于此函数的最小正周期为=π，∴ω=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin（2x+），由x∈[，]，

可得2x+∈[，]，故当2x+=时，函数f（x）取得最小值为-；

当2x+=时，函数f（x）取得最大值为×=1，

故函数f （x）在[，]上的取值范围为[-，1]．

解析

解：（Ⅰ）函数f （x）=2•-1=2sinωxcosωx+2cosωxcosωx

=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），

由于此函数的最小正周期为=π，∴ω=1．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin（2x+），由x∈[，]，

可得2x+∈[，]，故当2x+=时，函数f（x）取得最小值为-；

当2x+=时，函数f（x）取得最大值为×=1，

故函数f （x）在[，]上的取值范围为[-，1]．

题型：单选题

单选题

在函数y=sin|x|、y=|sinx|、、、中，最小正周期为π的函数的个数为（　　）

A4个

B3个

C2个

D1个

正确答案

解析

解：∵y=sin|x|不是周期函数，

令y=f（x）=|sinx|，

则f（x+π）=|sin（x+π）|=|-sinx|=|sinx|=f（x），

∴y=|sinx|是最小正周期为π的函数；

又y=sin（2x+）的最小正周期T==π，

∴y=sin（2x+）是最小正周期为π的函数，

同理可得，y=cos（2x+）的最小正周期为π，y=tan2x的最小正周期为；

∴以上五个函数中，最小正周期为π的函数有3个，

故答案为：3．

题型：简答题

简答题

设函数f（x）=•，其中=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合．

正确答案

解：（1）∵=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），

∴f（x）=•=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x

=1+2sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π；

（2）当2x+=2kπ+时，f（x）取最大值，

解得x=kπ+，k∈Z，故此时x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．

解析

解：（1）∵=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），

∴f（x）=•=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x

=1+2sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T==π；

（2）当2x+=2kπ+时，f（x）取最大值，

解得x=kπ+，k∈Z，故此时x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=1-f（x）•f′（x）．

（1）求g（x）的最小正周期和对称轴；

（2）若不等式|g（x）-m|＜2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

解：（1）∵函数f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），

g（x）=1-（ sinx+cosx ）（cosx-sinx ）=1-（sinxcosx-sin2x+cos2x-3sinxcosx）

=1-（cos2x-sin2x）=1-2sin（-2x）=1+2sin（2x-），

故g（x）的最小正周期为=π，

令2x-=kπ+，k∈z，求得x=+，可得函数g（x）的图象的对称轴为 x=+，k∈z．

（2）由不等式|g（x）-m|＜2 横成立，可得-2＜m-g（x）＜2恒成立，即 g（x）-2＜m＜g（x）+2横成立．

再根据x∈[，]，可得2x-∈[，]，∴sin（2x-）∈[，1]，g（x）∈[2，3]，

∴0＜m＜5．

解析

解：（1）∵函数f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），

g（x）=1-（ sinx+cosx ）（cosx-sinx ）=1-（sinxcosx-sin2x+cos2x-3sinxcosx）

=1-（cos2x-sin2x）=1-2sin（-2x）=1+2sin（2x-），

故g（x）的最小正周期为=π，

令2x-=kπ+，k∈z，求得x=+，可得函数g（x）的图象的对称轴为 x=+，k∈z．

（2）由不等式|g（x）-m|＜2 横成立，可得-2＜m-g（x）＜2恒成立，即 g（x）-2＜m＜g（x）+2横成立．

再根据x∈[，]，可得2x-∈[，]，∴sin（2x-）∈[，1]，g（x）∈[2，3]，

∴0＜m＜5．

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