热门试卷

证明：由1+a+b≥3，①

1+b+c≥3，②

1+c+a≥3，③

①②③，可得（1+a+b）（1+b+c）（1+c+a）≥27，

由a，b，c是互不相等的正数，且abc=1，

则等号取不到，即有（1+a+b）（1+b+c）（1+c+a）＞27．

解：（1）令a=b，得，故．  先证明：

∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2b+a）+3b（2a+b）≤2（2a+b）（2b+a），

即证a2+b2≥2ab，即证（a-b）2≥0，这显然成立．∴．

再证明：

∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2a+b）+3b（2b+a）≥2（a+2b）（b+2a），

即证a2+b2≥2ab，即证（a-b）2≥0，这显然成立．∴．

（2）存在一个常数M，使得不等式

对任意正数a，b，c，d恒成立．

证明：因为a＞b＞c，且a+b+c=0，所以a＞0，c＜0，

要证明原不等式成立，只需证明＜a，即证b2-ac＜3a2，

即证b2+a（a+b）＜3a2，即证（a-b）（2a+b）＞0，

即证（a-b）（a-c）＞0．

∵a＞b＞c，∴（a-b）•（a-c）＞0成立．

∴原不等式成立．

证明：要证明：+≤2，

只要证明：xy+ax+ay+a2+xy-ax-ay+a2+2≤4xy，

只要证明：≤xy-a2，

只要证明：x2y2-a2x2-a2y2+a4≤x2y2-2a2xy+a4，

只要证明：a2x2+a2y2≥2a2xy，

只要证明：x2+y2≥2xy，

只要证明：（x-y）2≥0，

显然成立，

所以+≤2．

证明：∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，

∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca）．

又∵ab+bc+ca=1，

∴a2+b2+c2≥1．

证明：由x，y＞0，可得

+≥2=2，

+≥2=2，

两式相加，可得：

+≥+，

即有，

当且仅当x=y等号成立．

证明：因为18=6×3=[（1+2x）+（3+x）+（2-3x）]（1+1+1），

由柯西不等式可得：

…（7分）

又，

所以．…（10分）

证明：（1）∵a2+b2≥2ab，a2+3≥2a，b2+3≥2b，

将此三式相加得2（a2+b2+3）≥2ab+2（a+b），

∴a2+b2+3≥ab+（a+b）．

（2）要证原不等式成立，只需证（+）2＞（2+）2

即证2．

上式显然成立，∴原不等式成立．

证明：由a+b+c=1，且a，b，c＞0，可得

0＜a，b，c＜1，

且1＜＜，可得＞，

即有＞，

即为＞1+（-1）a，

同理可得＞1+（-1）b，

＞1+（-1）c，

三式相加可得，＞3+（-1）（a+b+c）

=3+-1=2+．

则有＞2+．