- 不等式
- 共1649题
已知关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a，如果不等式的解集为空集，则实数a的取值范围为______．
正确答案
（-∞，1]
解析
解：由于|x-3|+|x-4|表示数轴上的x对应点到3和4对应点的距离之和，其最小值等于1，
若不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集为空集，则有a≤1，
故实数a的取值范围为（-∞，1]．
故答案为 （-∞，1]．
若a＞0，b＞0，求证：abba≤（ab）
正确答案
证明：要证明abba≤（ab）
只要
a＞b＞0，则
0＜a＜b，则0＜
a=b＞0，则
∴
∴abba≤（ab）
解析
证明：要证明abba≤（ab）
只要
a＞b＞0，则
0＜a＜b，则0＜
a=b＞0，则
∴
∴abba≤（ab）
设a，b，c，d都是正数，且x=
正确答案
证明：∵（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2=（ a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）-（a2c2+2abcd+b2d2）
=（ad-bc）2≥0，
∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 成立，又a，b，c，d都是正数，
∴
同理
∴xy≥
解析
证明：∵（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2=（ a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）-（a2c2+2abcd+b2d2）
=（ad-bc）2≥0，
∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 成立，又a，b，c，d都是正数，
∴
同理
∴xy≥
若不等式
正确答案
（-3，3）
解析
解：因为
不等式
解得a∈（-3，3）．
故答案为：（-3，3）．
已知0＜x＜1，证明：
正确答案
证明：由0＜x＜1，可得
即有
x-x2=x（1-x）＞0，即有x＞x2．
则有
解析
证明：由0＜x＜1，可得
即有
x-x2=x（1-x）＞0，即有x＞x2．
则有
已知x，y，z均为正数．求证：
正确答案
证明：因为x，y，z都是为正数，
所以
同理可得
当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，
得：
解析
证明：因为x，y，z都是为正数，
所以
同理可得
当且仅当x=y=z时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，
得：
已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|；
（Ⅰ）求不等式f（x）≥3的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥a2-a恒成立，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（I）∵f（x）=
∴f（x）≥3等价于
解得
故不等式f（x）≥3的解集是{x|
（II）由（I）可知：在R上，[f（x）]min=2．
∴关于x的不等式在f（x）≥a2-a上恒成立⇔a2-a≤[f（x）]min=2．
∴a2-a-2≤0，解得-1≤a≤2．
∴实数a的取值范围是[-1，2]．
解析
解：（I）∵f（x）=
∴f（x）≥3等价于
解得
故不等式f（x）≥3的解集是{x|
（II）由（I）可知：在R上，[f（x）]min=2．
∴关于x的不等式在f（x）≥a2-a上恒成立⇔a2-a≤[f（x）]min=2．
∴a2-a-2≤0，解得-1≤a≤2．
∴实数a的取值范围是[-1，2]．
设a，b为不相等的实数，求证：（a4+b4）（a2+b2）＞（a3+b3）2．
正确答案
证明：根据柯西不等式，有（a4+b4）（a2+b2）≥（a2•a+b2•b）2=（a3+b3）2．
∴（a4+b4）（a2+b2）≥（a3+b3）2．
∵a，b为不相等的实数，
∴（a4+b4）（a2+b2）＞（a3+b3）2．
解析
证明：根据柯西不等式，有（a4+b4）（a2+b2）≥（a2•a+b2•b）2=（a3+b3）2．
∴（a4+b4）（a2+b2）≥（a3+b3）2．
∵a，b为不相等的实数，
∴（a4+b4）（a2+b2）＞（a3+b3）2．
已知|a|≠|b|，证明：
正确答案
证明：要证明：
只需证明：（|a|-|b|）|a+b|≤（|a|+|b|）|a-b|
因为|a|-|b|≤|a-b|
所以（|a|-|b|）|a+b|≤|a2-b2|
因为|a+b|≤|a|+|b|
所以|a2-b2|≤（|a|+|b|）|a-b|
即（|a|-|b|）|a+b|≤|a2-b2|≤（|a|+|b|）|a-b|
所以（|a|-|b|）|a+b|≤（|a|+|b|）|a-b|
所以
解析
证明：要证明：
只需证明：（|a|-|b|）|a+b|≤（|a|+|b|）|a-b|
因为|a|-|b|≤|a-b|
所以（|a|-|b|）|a+b|≤|a2-b2|
因为|a+b|≤|a|+|b|
所以|a2-b2|≤（|a|+|b|）|a-b|
即（|a|-|b|）|a+b|≤|a2-b2|≤（|a|+|b|）|a-b|
所以（|a|-|b|）|a+b|≤（|a|+|b|）|a-b|
所以
证明：当x＞0时，有1+
正确答案
证明：由于x＞0，要证1+
即证（1+
即证1+x+
即为
则有当x＞0时，有1+
解析
证明：由于x＞0，要证1+
即证（1+
即证1+x+
即为
则有当x＞0时，有1+
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