- 不等式
- 共1649题
不等式|2x-1|-x<1的解集是______.
正确答案
|2x-1|-x<1
⇒|2x-1|<x+1
⇒-(x+1)<2x-1<x+1,
∴
⇒0<x<2,
故答案为(0,2).
若不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a等于______.
正确答案
∵不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),
∴
∴a=-4
故答案为:-4
不等式2|x-1|-1<0的解集是______.
正确答案
①若x≥1,∴2(x-1)-1<0,∴x<;
②若x<1,∴2(1-x)-1<0,∴x>;
综上<x<
.
故答案为:<x<
.
不等式|2x+1|(2x-1)≥0的解集是______.
正确答案
∵|2x+1|≥0,
∴当x=-时,原不等式成立;
当x≠-时,不等式|2x+1|(2x-1)≥0可以转化为不等式2x-1≥0,解得x≥
;
故答案为:{x|x=-或x≥
}.
已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|.
(Ⅰ)当a=2时,求使f(x)≥x成立的x的集合;
(Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值.
正确答案
(Ⅰ)由题意,f(x)=x|x-a|.…(1分)
当x<2时,f(x)=x(2-x)≥x,解得x∈[0,1]; …(2分)
当x≥2时,f(x)=x(x-2)≥x,解得x∈[3,+∞); …(3分)
综上,所求解集为x∈[0,1]∪[3,+∞); …(4分)
(Ⅱ)①当a≤1时,在区间[1,2]上,f(x)=x2-ax=(x-)2-
,其图象是开口向上的抛物线,对称轴是x=
,
∵a≤1,∴≤
<1,
∴f(x)min=f(1)=1-a…(6分)
②当1<a<2时,在区间[1,2]上,f(x)=x|x-a|≥0,
f(x)min=0…(8分)
③当a≥2时,在区间[1,2]上,f(x)=-x2+ax=-(x-)2+
,
其图象是开口向下的抛物线,对称轴是x=,
1° 当1≤<
即2≤a<3时,f(x)min=f(2)=2a-4…(10分)
2° 当≥
即a≥3时,f(x)min=f(1)=1-a
∴综上,f(x)min=…(12分)
已知是R上的减函数,A(3,-1),B(0,1)是其图象上两个点,则不等式
的解集是__________.
正确答案
试题分析:∵,∴
,∴
,又∵
在
上为减函数,∴
,∴
,∴
.
(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
关于的不等式
(Ⅰ)当时,解不等式;
(Ⅱ)设函数,当
为何值时,
恒成立?
正确答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅰ)当时,
原不等式可变为
,
可得其解集为
(Ⅱ)设,
则由对数定义及绝对值的几何意义知,
因在
上为增函数,
则,当
时,
,
故只需即可,
即时,
恒成
不等式|2x+1|>|5-x|的解集是______.
正确答案
不等式|2x+1|>|5-x|的解集,就是不等式(2x+1)2>(5-x)2的解集,
即3x2+14x-24>0,解得x<-6或x>.
原不等式的解集为:(-∞,-6)∪(,+∞).
故答案为:(-∞,-6)∪(,+∞).
选修4-5:不等式选讲
对于任意实数a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|(|x-1|+|x-2|)恒成立,试求实数x的取值范围.
正确答案
原式等价于 ≥|x-1|+|x-2|,设
=t,
则原式变为|t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|,对任意t恒成立.
因为|t+1|+|2t-1|=,最小值在 t=
时取到,为
,
所以有 ≥|x-1|+|x-2|=
解得 x∈[
,
].
若关于x的不等式|x-2|+|x-a|≥a在R上恒成立,则实数a的取值范围是______.
正确答案
|x-2|+|x-a|表示数轴上的x对应点到2和a对应点的距离之和,它的最小值等于|a-2|,
由不等式|x-2|+|x-a|≥a恒成立知,a≤|a-2|,
解得:a≤1
故答案为:(-∞,1].
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