- 数系的扩充和复数的概念
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已知复数
正确答案
试题分析：因为复数
实数m取什么数值时，复数z=m2-1+（m2-m-2）i分别是：
（1）实数？
（2）虚数？
（3）纯虚数？
（4）表示复数z的点在复平面的第四象限？
正确答案
∵复数z=m2-1+（m2-m-2）i，
∴（1）当m2-m-2=0，即m=-1，或m=2时，复数为实数．
（2）当m2-m-2≠0，即m≠-1，且m≠2时，复数为虚数．
（3）当 m2-m-2≠0，且m2-1=0时，即m=1时，复数为纯虚数．
（4）当m2-1＞0，且m2-m-2＜0时，即 1＜m＜2时，表示复数z的点在复平面的第四象限．
求满足条件-2+a-（b-a）i＞-5+（a+2b-6）i的实数a，b的取值范围．
正确答案
由-2+a-（b-a）i＞-5+（a+2b-6）i知不等号左右两边均为实数，
∴
已知复数
正确答案
2
略
设复数z1和z2满足关系式z1
.
z
2+
.
z
2=0，其中A为不等于0的复数．
证明：（1）|z1+A||z2+A|=|A|2；（2）
正确答案
证明：（1）∵|z1
.
z
2+
.
z
2+A
所以|z1+A||z2+A|=|A|2
（2）∵A≠0，由此得z1+A≠0，z2+A≠0，
=
已知复数z=log2（x2-3x-2）+ilog2（x-3）
（1）x为何实数时，z为实数？（2）x为何实数时，z为纯虚数？（3）x为何实数时，z在复平面上所对应的点第三象限？
正确答案
定义域x＞
（1）z为实数的充要条件：x2-3x-2＞0且log2（x-3）=0，得x=4 （2分）
（2）z为纯虚数的充要条件：log2（x2-3x-2）=0且log2（x-3）≠0，
得x=
（3）z在复平面上所对应的点第三象限的充要条件：log2（x2-3x-2）＜0且
log2（x-3）＜0，得
已知复数z=a+bi(a，b∈R)，且|z|=
正确答案
∵(1-i)u=(1+i)
∴
∴a=b=1或a=b=-1，
∴u=1+i或u=-1-i …（12分）
若复数（1-i）（a+i）是实数（i是虚数单位），则实数a的值为______．
正确答案
∵复数（1-i）（a+i）
=（a+1）+（1-a）i
又由已知中复数（1-i）（a+i）是实数
则1-a=0
即a=1
故答案为1
（1）试求i1，i2，i3，i4，i5，i6，i7，i8的值；
（2）由（1）推测in（n∈N*）的值有什么规律，并用式子表示出来．
（3）计算：i2012的值．
正确答案
（1）i1=i，i2=-1，i3=i2•i=-i；i4=（i2）2=（-1）2=1，i5=i4•i=i，i6=（i2）3=（-1）3=-1，i7=i6•i=-i，i8=（i4）2=1，…
（2））∵i1=i，i2=-1，i3=i2•i=-i；i4=（i2）2=（-1）2=1，
从n=1开始，4个一次循环．
∴i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i（n为自然数），
（3）由于2012=4×503，
∴i2012的值=1．
已知复数z满足|2z+
正确答案
设z=r（cosθ+isinθ），则|2z+
这个等式成立等价于关于x的二次方程4x2+（4cos2θ-1）x+1=0有正根．
△=（4cos2θ-1）2-16≥0，
∴16cos22θ-8cos2θ-15≥0，
∴cos2θ≤-
又x1x2=
故必须x1+x2=-
∴cos2θ＜
∴cos2θ≤-
∴（2k+1）π-arccos
∴kπ+
故答案为：[
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