热门试卷

解：（1）设正四面体边长为a，

∵AC⊥BD，AA1⊥BD，AC∩AA1=A，

∴BD⊥平面AA1C1C，垂足为点O，

则BC1和平面AA1C1C所成的角即为BD与OC1所成的角．

∵BC1=a，BD=a

∴∠BC1D=30°

即BC1和平面AA1C1C所成的角为30°；

（2）证明：∵BD∥B1D1，

∴由（1）知B1D1⊥平面AA1C1C，

∴平面AB1D1⊥平面AA1C1C．

证明：（1）∵在△ABC中，AC=3，AB=5，BC=4，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°．

∴AC⊥BC．

又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，

∴AC⊥CC1．

且BC∩CC1=C，

∴AC⊥平面BCC1．

而AC⊂平面ACC1，

∴平面ACC1⊥平面BCC1．

（2）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，

∵D是AB的中点，E是BC1的中点，

∴DE∥AC1，

∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，

∴AC1∥平面CDB1．

（1）证明：在△BCC1中，

∵BC=1，B1C=BB1=2，∠BCC1=，

∴BC1==，

∴∠CBC1=90°，∴BC⊥BC1，

∵AB⊥侧面BB1C1C，BC1⊂面BB1C1C，

∴BC1⊥AB，

∵AB∩BC=B，∴BC1⊥平面ABC，

∵BC1⊂平面AC1B，

∴平面AC1B⊥平面ABC．

（2）解：如图1，EA⊥EB1，AB⊥EB1，AB∩AE=A，AB，AE⊂平面ABE，

从而B1E⊥平面ABE，且BE⊂平面ABE，故BE⊥B1E，

不妨设CE=x，则C1E=2-x，则BE2=1+x2-x，

又∵∠B1C1C=π，∴B1E2=1+x2+x，

在Rt△BEB1中有x2+x+1+x2-x+1=4，从而x=±1（舍负），

故E为CC1的中点时，EA⊥EB1．

解：（1）连接BD，交AC于H，

由DH⊥AC，平面ACEF⊥平面ABCD，

可得DH⊥平面ACEF，

∠DFH即为直线DF和平面ACEF所成的角，

在直角△DFH中，DH=，HF==，

DF=，

即有直线DF与平面ACEF所成角的正弦值为=；

（2）以C为坐标原点，CD，CB，CE所在的直线为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，

D（2，0，0），C（0，0，0），M（1，2，0），

设P（x，x，1），平面PCD的法向量为=（m，n，k），平面PCM的法向量为=（u，v，s），

=（2，0，0），=（x，x，1），=（1，2，0），

由即为，可取=（0，1，-x），

由即为，可取=（-2，1，x），

由平面PCD与平面PCM相互垂直，等价为•=0，

即有1-x2=0，解得x=1．PE=，

即P为线段EF的中点，使平面PCD与平面PCM相互垂直．