- 平面与平面垂直的判定与性质
- 共746题
①若CD∥平面PBO 试指出O的位置并说明理由
②求证平面PAB⊥平面PCD
③若PD=BC=1，AB=
正确答案
①解：因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO=BO，
所以BO∥CD
又BC∥AD，
所以四边形BCDO为平行四边形，则BC=DO，
而AD=3BC，故点O的位置满足AO=2OD．
②证明：因为侧面PAD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥交线AD，
所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD又PA⊥PD，
且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA=A，
所以PD⊥平面PAB，PD⊂平面PCD，
所以：平面PAB⊥平面PCD；
③解：过P作PE⊥AD，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PE⊥底面ABCD，
∵PD=1，AD=3BC，棱PA⊥PD，
∴PA=2
∴PE=
∵AB=
∴P-ABCD的体积为
解析
①解：因为CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO=BO，
所以BO∥CD
又BC∥AD，
所以四边形BCDO为平行四边形，则BC=DO，
而AD=3BC，故点O的位置满足AO=2OD．
②证明：因为侧面PAD⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，且AB⊥交线AD，
所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD又PA⊥PD，
且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA=A，
所以PD⊥平面PAB，PD⊂平面PCD，
所以：平面PAB⊥平面PCD；
③解：过P作PE⊥AD，
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PE⊥底面ABCD，
∵PD=1，AD=3BC，棱PA⊥PD，
∴PA=2
∴PE=
∵AB=
∴P-ABCD的体积为
（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；
（2）求证：A1B∥平面ADC1．
正确答案
证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．
因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD⊂平面ABC，
所以AD⊥平面BCC1B1． …（5分）
因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1． …（7分）
（2）（证法一）
连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点．
因为D为BC的中点，所以OD∥A1B． …（11分）
因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1． …（14分）
（证法二）
取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B．则D1C1
所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B∥C1D．
因为C1D⊂平面ADC1，D1B⊄平面ADC1，
所以D1B∥平面ADC1．
同理可证A1D1∥平面ADC1．
因为A1D1⊂平面A1BD1，D1B⊂平面A1BD1，A1D1∩D1B=D1，
所以平面A1BD1∥平面ADC1． …（11分）
因为A1B⊂平面A1BD1，所以A1B∥平面ADC1． …（14分）
解析
证明：（1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．
因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AD⊂平面ABC，
所以AD⊥平面BCC1B1． …（5分）
因为DC1⊂平面BCC1B1，所以AD⊥DC1． …（7分）
（2）（证法一）
连接A1C，交AC1于点O，连接OD，则O为A1C的中点．
因为D为BC的中点，所以OD∥A1B． …（11分）
因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1． …（14分）
（证法二）
取B1C1的中点D1，连接A1D1，DD1，D1B．则D1C1
所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B∥C1D．
因为C1D⊂平面ADC1，D1B⊄平面ADC1，
所以D1B∥平面ADC1．
同理可证A1D1∥平面ADC1．
因为A1D1⊂平面A1BD1，D1B⊂平面A1BD1，A1D1∩D1B=D1，
所以平面A1BD1∥平面ADC1． …（11分）
因为A1B⊂平面A1BD1，所以A1B∥平面ADC1． …（14分）
（Ⅰ）求证：B1C∥平面AC1M；
（Ⅱ）求证：平面AC1M⊥平面AA1B1B．
正确答案
证明：（I）由三视图可知三棱柱A1B1C1-ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形且∠ACB=90°，连接A1C，设A1C∩AC1=O．连接MO，由题意可知A1O=CO，A1M=B1M，所以MO∥B1C．
∴B1C∥平面AC1M；
（II）∵A1C1=B1C1，点M是A1B1的中点
∴C1M⊥A1B1，
∵平面A1B1C1⊥平面AA1B1B，平面A1B1C1∩平面AA1B1B=A1B1，
∴C1M⊥平面AA1B1B
∵C1M⊂平面AC1M
∴平面AC1M⊥平面AA1B1B．
解析
证明：（I）由三视图可知三棱柱A1B1C1-ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形且∠ACB=90°，连接A1C，设A1C∩AC1=O．连接MO，由题意可知A1O=CO，A1M=B1M，所以MO∥B1C．
∴B1C∥平面AC1M；
（II）∵A1C1=B1C1，点M是A1B1的中点
∴C1M⊥A1B1，
∵平面A1B1C1⊥平面AA1B1B，平面A1B1C1∩平面AA1B1B=A1B1，
∴C1M⊥平面AA1B1B
∵C1M⊂平面AC1M
∴平面AC1M⊥平面AA1B1B．
（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求证：MN∥平面BCF；
（3）若点N为EC的中点，点P为EF上的动点，试求PA+PN的最小值．
正确答案
解：（1）∵四边形CFED与ABFE都是正方形
∴EF⊥DE，EF⊥AE，又DE∩EA=E，∴EF⊥平面ADE，---------------（2分）
又∵EF∥AB，∴AB⊥平面ADE
∵AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE-------------------------（4分）
（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，
过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连结M1N1，------------（5分）
又∵
∴MM1=NN1--------------------------------（7分）
∴四边形MNN1M1为平行四边形，----------------------（8分）
∴MN∥N1M1，又MN⊄面BCF，N1M1⊂面BCF，∴MN∥面BCF．-（10分）
[法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连结NG，则
又NG⊄面BCF，CF⊂面BCF，∴NG∥面BCF，------------（7分）
同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF--------（9分）
∵MN⊂平面MNG，∴MN∥面BCF．--------------------------------------------（10分）]
（3）如图将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点
A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小，------------------------------------（11分）
在△AEN中，∵
由余弦定理得AN2=AE2+EN2-2AE•ENcos135°，------（13分）
∴
即
解析
解：（1）∵四边形CFED与ABFE都是正方形
∴EF⊥DE，EF⊥AE，又DE∩EA=E，∴EF⊥平面ADE，---------------（2分）
又∵EF∥AB，∴AB⊥平面ADE
∵AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE-------------------------（4分）
（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，
过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连结M1N1，------------（5分）
又∵
∴MM1=NN1--------------------------------（7分）
∴四边形MNN1M1为平行四边形，----------------------（8分）
∴MN∥N1M1，又MN⊄面BCF，N1M1⊂面BCF，∴MN∥面BCF．-（10分）
[法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连结NG，则
又NG⊄面BCF，CF⊂面BCF，∴NG∥面BCF，------------（7分）
同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF--------（9分）
∵MN⊂平面MNG，∴MN∥面BCF．--------------------------------------------（10分）]
（3）如图将平面EFCD绕EF旋转到与ABFE在同一平面内，则当点
A、P、N在同一直线上时，PA+PN最小，------------------------------------（11分）
在△AEN中，∵
由余弦定理得AN2=AE2+EN2-2AE•ENcos135°，------（13分）
∴
即
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．
正确答案
由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得
又AB=4，所以BD⊥AD．
又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面ADE． …（5分）
（II）解：建立空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），
设
令x=1，则
设直线BE与平面CDE所成的角为α，
则sinα=
所以BE和平面CDE所成的角的正弦值
（III）解：设
则
设
令x'=1，则
若平面BDF⊥平面CDE，则
所以，在线段CE上存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE．…（14分）
解析
由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得
又AB=4，所以BD⊥AD．
又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
所以BD⊥平面ADE． …（5分）
（II）解：建立空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），
设
令x=1，则
设直线BE与平面CDE所成的角为α，
则sinα=
所以BE和平面CDE所成的角的正弦值
（III）解：设
则
设
令x'=1，则
若平面BDF⊥平面CDE，则
所以，在线段CE上存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE．…（14分）
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