- 等差数列的定义及性质
- 共8637题
解答下列问题：
（I）设f(x)=
（1）求f（x）的反函数f-1（x）；
（2）若u1=1，un=-f-1(un-1)，(n≥2)，求un；
（3）若ak=
正确答案
（1）由y=f(x)=
∵x≤-3，∴两边开方得出x=-
所以反函数为y=f-1(x)=-
（2）由un=-f-1(un-1)得出un=-f-1(un-1)=
所以数列{un2}是公差为9的等差数列，且首项u12=1，
un2=1+（n-1）×9=9n-8，
∵un＞0，∴un=
（3）ak=
给出下列命题：
①若f（x）=2x3+3的反函数为f-1（x），则f-1（5）=1；
②过原点作圆x2+y2-12x+9=0的两切线，则两切线所夹的劣弧长为2
③在△ABC中，已知a=5，b=6，A=30°，则B有一解且B=arcsin
④在样本频率分布直方图中，共有三个长方形，其面积由小到大构成等差数列{an}，且a2+a3=0.8，则最大的长方形的面积为
其中正确命题的序号为______．
正确答案
若f（x）=2x3+3的反函数为f-1（x），则f-1（5）=1；把1代入原函数得到函数值时5，故①正确，
过原点作圆x2+y2-12x+9=0的两切线，
过圆心做切线的垂线，根据组成的直角三角形三边之间的关系，得到两条切线所夹的角是60°，
根据原定周长乘以
则两切线所夹的劣弧长为2
在△ABC中，已知a=5，b=6，A=30°，
∵6＞5＞6×sin30°
则B有两解，故③不正确，
在样本频率分布直方图中，共有三个长方形，其面积由小到大构成等差数列{an}，
且a2+a3=0.8，a1=0.2，d=
综上可知①④正确，
故答案为：①④
已知一个等差数列的前10项的和是110，前20项的和是20．求此等差数列的前n项和Sn，并求出当n为何值时，Sn最大，最大值是多少？
正确答案
设等差数列的首项为a1，公差为d，（1分）
则
所以a1=20，d=-2，
所以Sn=-n2+21n，（5分）
又Sn=-n2+21n=-(n-
所以当n=10或n=11时，Sn最大，最大值S10=S11=110．（8分）
已知函数F（X）=a•bx的图象过点A（4，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）记an=log2f（n），n是正整数，Sn是数列{an}的前n项和，求满足不等式anSn≤0的n的值．
正确答案
（Ⅰ）由于函数f（x）=a•bx的图象过点A（4，
所以
故f（x）=
（Ⅱ）由题意an=log222n-10=2n-10．
∴数列{an}是等差数列，所以Sn=
anSn=2n（n-5）（n-9），由anSn≤0 得（n-5）（n-9），5≤n≤9
∴n=5，6，7，8，9
已知{an}是公差不为0的等差数列，{bn} 是等比数列，其中a1=2，b1=1，a2=b2，2a4=b3，且存在常数α、β，使得an=logαbn+β对每一个正整数n都成立，则αβ=______．
正确答案
a2=a1+d=2+d b2=1×q=q
∵a2=b2∴q=2+d a4=a1+3d=2+3d b3=1×q2=q2∵2a4=b3∴2×（2+3d）=q2=（2+d）2 即 d2-2d=0
∵公差不为0
∴d=2∴q=4∴
an=a1+（n-1）d=2+2×（n-1）=2n
bn=a1qn-1=4n-1∵an=logαbn+β
∴2n=logα4n-1+β=（n-1）logα4+β ①
∵①式对每一个正整数n都成立
∴n=1时，得β=2 n=2时，得logα4+2=4，得α=2
∴αβ=22=4
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