热门试卷

(1)  (2)

(1)证明:在Sn＋an＋ n－1＝2①中，令n＝1，得S1＋a1＋1＝2，∴a1＝

当n≥2时，Sn－1＋an－1＋ n－2＝2，②

①－②得an＋an－an－1－ n－1＝0(n≥2)，

∴2an－an－1＝，∴2nan－2n－1an－1＝1.

又cn＝2nan，∴cn－cn－1＝1(n≥2)．

又c1＝2a1＝1，所以，数列{cn}是等差数列．

于是cn＝1＋(n－1)×1＝n，又∵cn＝2nan，∴an＝.

(2)解:由题意得

bn＝c2n－1＋c2n－1＋1＋c2n－1＋2＋…＋c2n－1＝2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)，而2n－1,2n－1＋1,2n－1＋2，…，2n－1是首项为2n－1，公差为1的等差数列，且共有2n－1项，所以，bn＝＝＝

（1）；(2) ；(3) .

试题分析：（1）已知前项和公式求，则.用此公式即可得通项公式；

（2）根据递推公式的特征，可用叠加法求；（3）由（1）（2）及题意得，

由等差数列与等比数列的积或商构成的新数列，求和时用错位相消法.本题中要注意，首项要单独考虑.

试题解析：（1），，       2分

当时，

           4分

（2）

以上各式相加得，

又故             8分

（3）由题意得，

当时，

两式相减得，

又，符合上式，      12分

（1），；（2）当且仅当或时等号成立.

试题分析：(1)已知 与 的关系式求出首项和通项，通常都是取特值和写一个递推式相减即可.(2)由（1）得到，分析第1,2项可得后要证的问题等价于本题是通过利用对称项的关系来证明的，该对称项是通过对的范围的讨论得到的. 通过累加后得到，然后不等式的两边同时加上即可得到答案.

试题解析：⑴ ………①,

当时代入①,得,解得;

由①得,两式相减得(),故,故为公比为2的等比数列,

故(对也满足);

⑵当或时,显然,等号成立.

设,且,由(1)知,,,所以要证的不等式化为:

即证:

当时,上面不等式的等号成立.

当时,与,()同为负;

当时,   与,()同为正;

因此当且时,总有 ()()>0,即

,().

上面不等式对从1到求和得,;

由此得 ;

综上,当且时,有,当且仅当或时等号成立.

（Ⅰ）证明：见解析；

（Ⅱ）数列的通项公式为   ，

（Ⅲ）当时, 

本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

（1）由题意知an=f（an-1），f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）（n=2，3，4，），得an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）（n=2，3，4，），由此可知an-an-1=k（an-an-1），（n=2，3，4，），得k=1．

（2）由b1=a2-a1≠0，知b2=a3-a2=f（a2）-f（a1）=k（a2-a1）≠0．因此bn=an+1-an=f（an）-f（an-1）=k（an-an-1）═kn-1（a2-a1）≠0，由此可知数列{bn}是一个公比为k的等比数列．

（3）{an}是等比数列的充要条件是f（x）=kx（k≠1）；先进行充分性证明：若f（x）=kx（k≠1），则{an}是等比数列．再进行必要性证明：若{an}是等比数列，f（x）=kx（k≠1）．

（Ⅰ）证明：由，可得

.由数学归纳法可证

.

由题设条件，当时

因此，数列是一个公比为k的等比数列.

（Ⅱ）解：由（1）知，

当时，

当时，   .

而  

所以，当时,      .上式对也成立. 所以，数列的通项公式为. 当时

   。上式对也成立，所以，数列的通项公式为   ，

（Ⅲ）解：当时,