热门试卷

（1）证明：由已知有：an2=1+24（n-1），从而an=，

方法一：取n-1=242k-1，则an=(k∈N+)

用反证法证明这些an都是无理数．

假设an=为有理数，则an必为正整数，且an＜24k，

故an-24k≥1．an-24k＞1，与（an-24k）（an+24k）=1矛盾，

所以an=(k∈N+)都是无理数，即数列an中有无穷多项为无理数；

（2）要使an为整数，由（an-1）（an+1）=24（n-1）可知：

an-1，an+1同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有an-1=6m或an+1=6m

当an=6m+1时，有an2=36m2+12m+1=1+12m（3m+1）（m∈N）

又m（3m+1）必为偶数，所以an=6m+1（m∈N）满足an2=1+24（n-1）

即n=+1（m∈N）时，an为整数；

同理an=6m-1（m∈N+）有an2=36m2-12m+1=1+12（3m-1）（m∈N+）

也满足an2=1+24（n-1），即n=+1（m∈N+）时，an为整数；

显然an=6m-1（m∈N+）和an=6m+1（m∈N）是数列中的不同项；

所以当n=+1（m∈N）和n=+1（m∈N+）时，an为整数；

由an=6m+1＜200（m∈N）有0≤m≤33，

由an=6m-1＜200（m∈N+）有1≤m≤33．

设an中满足an＜200的所有整数项的和为S，则

S=（5+11+…+197）+（1+7+…+199）=×33+×34=6733

（1）数列是等差数列；（2）.

试题分析：（1）证明：在原等式两边同除以，得，即，所以是以为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）得，所以，从而.

用错位相减法求得.

（1）证明：由已知可得，，即，所以是以为首项，为公差的等差数列.（2）由（1）得，所以，从而.

       ①

    ②

①－②得

.

所以.

（1）依题意，[18+（m-1）×18]2=36+（m+14-14）d2-45，

即（18m）2=md2-9，即d2=182m+≥2=108；

等号成立的条件为182m=，即m=，∵m∈N*，

∴等号不成立，∴原命题成立．

（2）由S14=2Sk得：Sk=S14-Sk，

即：×k=×(14-k+1)，

则9k=18×（15-k），得k=10

d1==-2，d2==9，

则an=-2n+20，bn=9n-90．

（Ⅰ）证明：由an+1=2an+2n得bn+1===+1=bn+1

又b1=a1=1，因此数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列

（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=1+(n-1)•1=n=，

∴an=n•2n-1，

∴=

则Sn=1++++…+，…(1)

Sn=++++…+，…(2)

（1）-（2）得Sn=1++++…+-．

=-=2-(2+n)．

∴Sn=4-(2+n)