由递推关系式求数列的通项公式_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 15 分

设数列{}的前项和为.已知=4，=2+1，.

18.求通项公式；

19.求数列{}的前项和.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

由题意得：，则，

又当时，由，

得，

所以，数列的通项公式为.

考查方向

本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力，同时考查运算求解能力，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

先由.则，，即得，

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

设，，.

当时，由于，故.

设数列的前n项和为，则，.

当时，，

所以，.

考查方向

本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力，同时考查运算求解能力，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

设，，.求出.

易错点

对等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法等基础知识不熟悉，计算错误

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．设数列{}满足：a1＝1，a2＝3，且2n＝（n－1）＋（n＋1），则a20的值

是

A4

B4

C4

D4

正确答案

D

解析

构造新数列{}满足，则满足，

∴{}为等差数列，又因为

∴

考查方向

本题考察了等差数列的基本运算，由递推关系式求数列的通项公式

解题思路

1）根据数列递推关系，构造新数列{}满足，

2）得出新数列为等差数列，求出

3）还原得到a20

易错点

主要易错于无法构造新数列，导致解题步骤加长，计算出错

知识点

由递推关系式求数列的通项公式

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

17.已知数列和满足，,

.

（1）求与;

（2）记数列的前n项和为，求.

正确答案

（1）；（2）；

解析

试题分析：(1)利用等比数列的通项公式求出，利用，求出；

(2)利用错位相减法求和即可。

(1) 由，∴，；

∵，∴当n＝1时，，，

当n≥2时，，作差可得，

即，可得；

(2)由(1)可得，

∴，

，

∴

考查方向

本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中等题．

解题思路

（1）直接由，可得数列为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列的通项公式；再由，，取n=1求得，当n≥2时，得另一递推式，作差得到，整理得数列{}为常数列，由此可得的通项公式；

（2）求出，然后利用错位相减法求数列的前n项和为．

易错点

错位相减法求和时的计算，分类讨论的思想的应用.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式其它方法求和

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题型：简答题

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简答题 · 16 分

20．设数列共有项，记该数列前项中的最大项为，该数列后项中的最小项为，.

（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；

（2）若数列满足，，求数列的通项公式；

（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由.

正确答案

（1），.

（2），.

（3）

解析

试题分析：本题属于数列综合问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）（2）直接按照单调数列定义来求（3）构造新数列时，要把握问题的本质。

（1）因为单调递增，所以，，

所以，.

（2）根据题意可知，，，因为，所以

可得即，又因为，所以单调递增，

则，，所以，即，，

所以是公差为2的等差数列，，.

（3）构造，其中，.

下证数列满足题意.

证明：因为，所以数列单调递增，

所以，，

因为，

所以数列单调递增，满足题意.

考查方向

本题考查了等差、等比数列的定义与性质，数列单调性的理解与运用。

解题思路

解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系。解综合问题的成败在于审清题意，通过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系与隐含条件。

易错点

1、数列单调性的巧妙运用。

2、第三问中构造不正确得不到正确结论。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列与等比数列的综合

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

11．设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为　　．

正确答案

解析

∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），

∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．

当n=1时，上式也成立，

∴an=．

∴=2．

∴数列{}的前n项的和Sn=

=

=．

∴数列{}的前10项的和为．

故答案为：．

考查方向

本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂项求和”即可得出．

易错点

题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、尤其在用“裂项求和”的过程中易错.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.已知数列{an}满足a11，．若，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是　　　　　　.

正确答案

解析

易知＝＋1，∴＋1＝2(＋1).

又a1＝1，∴＋1＝(＋1)＝2n，∴bn＋1＝(n－λ)2n，∴，

当时，也符合，

∴bn＋1－bn＝(n－λ)2n－(n－1－λ)＝(n－λ＋1)>0，∴n＋1＞λ，

又n∈N*，∴λ<2.

考查方向

本题主要考查已知递推公式求通项公式，以及数列的单调性。

解题思路

1)由，得到新的等比数列；

2)由数列单调性的定义求的范围；

易错点

本题易根据函数的单调性判断数列的单调性，忽略数列自变量的特殊性；

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

14．数列中，，当时，，则数列的通项公式为．

正确答案

解析

当时，，

故

考查方向

本题考查了根据数列的递推公式求通项的方法之累乘法.

解题思路

将递推公式转化成；2.将写成；3.依据递推公式代入求解.

易错点

忘了同底指数幂相乘的运算法则；2.指数位置应是共项相加.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.设为数列的前项和，若，则

正确答案

解析

∵，

∴当时，，即;

当时，，即,

∴

故答案为.

考查方向

本题考查了等比数列的前n项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

由，当时，可得．当时，，即．再利用等比数列的前n项公式即可得出．

易错点

要分清n是奇数和偶数.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式其它方法求和

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

19．设数列的前项和为，．已知，，，且当时，。

（1）求的值；

（2）证明：为等比数列；

（3）求数列的通项公式。

正确答案

（1）令可得的值；

（2）先将（）转化为，再利用等比数列的定义可证是等比数列；

（3）先由（2）可得数列的通项公式，再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列的通项公式．

试题解析：

（1）当时，，即，解得：

（2）因为（），所以（），即（），因为，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列

（3）由（2）知：数列是以为首项，公比为的等比数列，

所以

即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，

所以，即，

所以数列的通项公式是

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明

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正确答案

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考查方向

解题思路

正确答案

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