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题型: 单选题
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单选题

将双曲线x2-y2=2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y=.据此类推可求得双曲线的焦距为(  )

A2

B2

C4

D4

正确答案

D

解析

解:由于=,双曲线的图象可由进行形状不变的变换而得,

∴双曲线的图象与双曲线的图象全等,它们的焦距相同,

根据题意:“将双曲线x2-y2=2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y=.“

类比可得:将双曲线x2-y2=6绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线

而双曲线x2-y2=6的a=b=,c=2

∴焦距为2c=4

故选D.

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题型: 单选题
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单选题

在同一平面的直角坐标系中,直线x-2y=2经过伸缩变换后,得到的直线方程为(  )

A2x′+y′=4

B2x′-y′=4

Cx′+2y′=4

Dx′-2y′=4

正确答案

B

解析

解:由,代入直线x-2y=2得,即2x-y=4.

故选B.

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题型:填空题
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填空题

关于x、y的二元线性方程组 的增广矩阵经过变换,最后得到的矩阵为=______

正确答案

解析

解:设变换矩阵为,则,∴

故答案为

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题型:简答题
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简答题

已知矩阵A=,B=,向量=,x,y为实数,若A=B,求x+y的值.

正确答案

解:∵矩阵A=,B=,向量=,A=B

∴x=-,y=4,

∴x+y=

解析

解:∵矩阵A=,B=,向量=,A=B

∴x=-,y=4,

∴x+y=

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题型:填空题
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填空题

定义=,若=,则x=______,y=______

正确答案

-6

5

解析

解:由定义可得,==

则有

解得,

故答案为:-6,5.

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题型: 单选题
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单选题

已知△ABC,A(1,1),B(3,1),C(3,3),经过矩阵所对应的变换,得到的三角形面积是 (  )

A

B

C1

D2

正确答案

D

解析

解:M=

=

=

=

△ABC经过矩阵所对应的变换后的坐标为(1,2)、(3,4)、(3,6)

∴S==2,

故选D

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题型:简答题
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简答题

(2015春•淮安校级期末)设矩阵M=(其中a>0,b>0).

(Ⅰ)若a=2,b=3,求矩阵M的逆矩阵M-1

(Ⅱ)若曲线C:x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′:+y2=1,求a,b的值.

正确答案

解:(Ⅰ)∵矩阵M=

∴detM=6≠0,

∴矩阵M是可逆的,

∴M-1=

(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(x,y),它在矩阵M所对应的线性交换作用下得到点P′(x′,y′),

=,即

又点P′(x′,y′)在曲线C′上,∴

为曲线C的方程,

又已知曲线C的方程为x2+y2=1,又a>0,b>0,

∴a=2,b=1.

解析

解:(Ⅰ)∵矩阵M=

∴detM=6≠0,

∴矩阵M是可逆的,

∴M-1=

(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(x,y),它在矩阵M所对应的线性交换作用下得到点P′(x′,y′),

=,即

又点P′(x′,y′)在曲线C′上,∴

为曲线C的方程,

又已知曲线C的方程为x2+y2=1,又a>0,b>0,

∴a=2,b=1.

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题型:简答题
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简答题

选修4-2:矩阵与变换

已知矩阵A=.在平面直角坐标系中,设直线l:2x+y-7=0在矩阵A对应的变换作用下得到另一直线l′:9x+y-91=0,求实数m、n的值.

正确答案

解:在直线2x+y-7=0取两点M(3,1),N(0,7)

M,N在矩阵A对应的变换作业下分别对应于点M‘,N'

=,所以M'的坐标为(3m,-3+n);

=,所以N'的坐标为(0,7n);

由题意可知M',N'在直线l′:9x+y-91=0上,

所以

解得:m=3,n=13.

解析

解:在直线2x+y-7=0取两点M(3,1),N(0,7)

M,N在矩阵A对应的变换作业下分别对应于点M‘,N'

=,所以M'的坐标为(3m,-3+n);

=,所以N'的坐标为(0,7n);

由题意可知M',N'在直线l′:9x+y-91=0上,

所以

解得:m=3,n=13.

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题型:简答题
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简答题

设矩阵A=,若存在一矩阵P=使得A=PBP-1.试求:

(Ⅰ)矩阵B; 

(Ⅱ)B3

正确答案

解:(Ⅰ)设矩阵B=,则由A=PBP-1,可得AP=PB,

整理得

解得a=2,b=0,c=0,d=3,

即B=;      

(Ⅱ)由(1)知

所以

解析

解:(Ⅰ)设矩阵B=,则由A=PBP-1,可得AP=PB,

整理得

解得a=2,b=0,c=0,d=3,

即B=;      

(Ⅱ)由(1)知

所以

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题型:简答题
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简答题

已知点A(a,b)(其中a≠b)在矩阵M=对应的变换作用下得到点A(-b,a).

(Ⅰ)求矩阵M的逆矩阵M-1

(Ⅱ)求曲线C:(x-1)2+y2=1在矩阵M-1所对应的变换作用下得到的曲线C′的方程.

正确答案

解:(Ι)∵点A(a,b)(其中a≠b)在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B(-b,a),

      …(3分)

即M=,由M-1M=得M-1=.…(4分)

(Ⅱ)设P(x0,y0)是曲线C:(x-1)2+y2=1上任意一点,

则点P(x0,y0)在矩阵M对应的变换下变为点P′(x,y)

则有

又∵点P在曲线C:(x-1)2+y2=1上,

∴(-x-1)2+y2=1,即曲线C‘的方程为(x+1)2+y2=1.

解析

解:(Ι)∵点A(a,b)(其中a≠b)在矩阵M=对应变换的作用下得到的点为B(-b,a),

      …(3分)

即M=,由M-1M=得M-1=.…(4分)

(Ⅱ)设P(x0,y0)是曲线C:(x-1)2+y2=1上任意一点,

则点P(x0,y0)在矩阵M对应的变换下变为点P′(x,y)

则有

又∵点P在曲线C:(x-1)2+y2=1上,

∴(-x-1)2+y2=1,即曲线C‘的方程为(x+1)2+y2=1.

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