- 等差数列的前n项和及其最值
- 共124题
5.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()
正确答案
知识点
17.等差数列{}中,
(I)求{}的通项公式;
(II)设=[
],求数列{
}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
正确答案
(Ⅰ);(Ⅱ)24.
解析
(Ⅰ) 根据等差数列的性质求,
,从而求得
;(Ⅱ)根据已知条件求
,再求数列
的前10项和.
试题解析:(Ⅰ)设数列的公差为d,由题意有
,解得
,
所以的通项公式为
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
当n=1,2,3时,;
当n=4,5时,;
当n=6,7,8时,;
当n=9,10时,,
所以数列的前10项和为
.
考查方向
解题思路
(I)用基本量法,根据等差数列通项公式 列出方程,并求解。(II) 根据[x]的信息,理解其含义,具体求出每个值,并进行计算。也可以根据n进行分类,再求和,文科生更易倾向用前面的方法。
易错点
求解本题会出现以下错误:①对“表示不超过
的最大整数”理解出错;
知识点
设数列的前
项和为
,
.已知
,
,
,
且当时,
.
24.求的值;
25.证明:为等比数列;
26.求数列的通项公式.
正确答案
(1);
解析
(1)当时,
,即
,解得:
考查方向
解题思路
(1)令可得
的值;(2)先将
(
)转化为
,再利用等比数列的定义可证
是等比数列;(3)先由(2)可得数列
的通项公式,再将数列
的通项公式转化为数列
是等差数列,进而可得数列
的通项公式.
易错点
证明等比数列时,不能写出几项去验证,而是要利用定义去证明。
正确答案
(2)证明见解析;
解析
(2)因为(
),所以
(
),即
(
),因为
,所以
,因为
,所以数列
是以
为首项,公比为
的等比数列
考查方向
解题思路
(1)令可得
的值;(2)先将
(
)转化为
,再利用等比数列的定义可证
是等比数列;(3)先由(2)可得数列
的通项公式,再将数列
的通项公式转化为数列
是等差数列,进而可得数列
的通项公式.
易错点
证明等比数列时,不能写出几项去验证,而是要利用定义去证明。
正确答案
(3).
解析
(3)由(2)知:数列是以
为首项,公比为
的等比数列,所以
即,所以数列
是以
为首项,公差为
的等差数列,所以
,即
,所以数列
的通项公式是
考查方向
解题思路
(1)令可得
的值;(2)先将
(
)转化为
,再利用等比数列的定义可证
是等比数列;(3)先由(2)可得数列
的通项公式,再将数列
的通项公式转化为数列
是等差数列,进而可得数列
的通项公式.
易错点
证明等比数列时,不能写出几项去验证,而是要利用定义去证明。
已知数列是首项为正数的等差数列,数列
的前n项和为
.
21.求数列的通项公式;
22.设.
正确答案
解析
(1)设数列的公差为d,令n=1,得
所以
令n=2,得
所以
,解得
,所以
.
考查方向
解题思路
运用从一般到特殊的处理方法,准确确定等差数列的通项公式。
正确答案
解析
(2)由(1)知,,所以
两式相减,
得,所以
考查方向
解题思路
对所得数学式子准确地变形,应用“错位相减法”求和。
易错点
错位相减后求和时,弄错数列的项数,或忘记从化简到
.
14.无穷数列{an}由k个不同的数组成,Sn为{an}的前n项和.若对任意的,
则k的最大值为 .
正确答案
4
知识点
已知是各项均为正数的等比数列,
是等差数列,且
,
.
22.求和
的通项公式;
23.设,求数列
的前n项和.
正确答案
,
.
解析
试题分析:列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项;设的公比为q,
的公差为d,由题意
,由已知,有
消去d得
解得
,所以
的通项公式为
,
的通项公式为
.
考查方向
解题思路
近几年高考试题中求数列通项的题目频频出现,尤其对等差、等比数列的通项考查较多,解决此类 问题要重视方程思想的应用.
易错点
准确求解方程
正确答案
解析
试题分析:用错位相减法求和.
由(I)有 ,设
的前n项和为
,则
两式相减得
所以 .
考查方向
解题思路
错位相减法求和也是高考考查频率较高的一类方法,从历年考试情况来看,这类问题,运算失误较多,应引起考生重视.
易错点
错位相减法相减时项的对应关系
9.已知等比数列满足
,
,则
=( )
正确答案
解析
解:设等比数列{an}的公比是q,因为,a3a5=4(a4-1),所以(
化简得,q6-16q3+64=0,解得q3=8,则q=2,所以a2=a1•q=
故答案为:C。
考查方向
解题思路
设等比数列{an}的公比是q,根据题意和等比数列的通项公式列出方程,化简后求出q的值,即可求出a2
易错点
计算错误,主要是用换元法。
知识点
4.等差数列中,
,
,则
的前5项和
( )
正确答案
解析
因为所以
,解得
,所以
,解得
,故
,故选择C选项。
考查方向
解题思路
由已知利用等差数列的通项公式可求公差,然后再代入等差数列的通项公式即可求解。
易错点
对等差数列的前n项和公式不熟悉导致出错。
知识点
3.已知等差数列的前
项和为
,若
则
()
正确答案
解析
,故选C。
考查方向
解题思路
利用等差数列的求和公式表示出前10项的和,再利用等差数列的性质即可解出。
易错点
不会利用等差数列的性质来求解。
知识点
5. 设是等差数列
的前
项和,若
,则
=( )
正确答案
解析
由等差中项性质得:
考查方向
解题思路
利用等差中项的概念,可以得到第三项,再利用前五项的和与第三项的关系可得。
易错点
利用前n项和公式,找不到前五项和和已知条件的关系。
知识点
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