用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
共1400题

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题型：简答题

简答题

如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，是正三角形，平面平面．

（1）求证：；

（2）求三棱锥的体积．

正确答案

（1）见解析（2）．

（1）由，，，利用余弦定理，可得

，

故，又由平面平面，可得平面，又平面，故．

（2）解：由（1）知平面，又平面，故平面平面．取的中点，连结，由于是正三角形，故．

可知平面，即为三棱锥的高．

在正中，，故．

三棱锥的体积．

题型：填空题

填空题

设a ，b是平面外的两条直线，给出下列

四个命题：①若a∥b ，a∥，则b∥；

②若a∥b ，b 与相交，则a 与也相交；③若a∥，b∥，则a∥b ；④若a 与b 异面，a∥，则．则所有正确命题的序号是________．

正确答案

①②

试题分析：③中a和b可能相交也可能异面；④中b与也可能相交，这是一道概念题，一定要注意a,b在平面外的两条直线，这是解题的易错点.

题型：简答题

简答题

如图，是平行四边形，点是平面外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于．

求证：．

正确答案

证明见解析

连结交于，连结，

是平行四边形，

是中点，又是的中点，

．

根据直线和平面平行的判定定理则有平面．

平面平面，

根据直线和平面平行的性质定理

．

题型：简答题

简答题

求证：三个平面两两互相垂直，其中两个平面的交线必与第三个平面垂直．

正确答案

证明见答案

在上取一点，且，设，，过点作于．

，必在与的交线上．

同理必在与的交线上，是的交点，与重合，即．

题型：简答题

简答题

已知侧棱垂直于底面的四棱柱,ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且AD="A" A1，

点F为棱BB1的中点，点M为线段AC1的中点.

(1)求证： MF∥平面ABCD

(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1

正确答案

（1）证明见解析；（2）证明见解析．

试题分析：

解题思路：（1）构造三角形，利用中位线证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行；

（2）由线面垂直得到线线垂直，再证明线面垂直，进而证明面面垂直.

规律总结：对于空间几何体中的垂直、平行关系的判定，要牢牢记住并灵活进行转化，线线关系是关键.

试题解析：（1）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN.

∵F是BB1的中点，∴F为C!N的中点，B为CN的中点，

∴又因为M为线段AC！的中点，∴MF∥AN，

又平面ABCD，平面ABCD，

∥平面ABCD.

连接BD，由题知平面AB-CD，又平面ABCD，.

四边形ABCD为菱形，.

又,平面,平面,平面.

在四边形DANB中，DA∥BN,且DA=BN,，四边形DANB为平行四边形，∥BD，平面。又平面，平面⊥平面.

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