用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
共1400题

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题型：简答题

简答题

已知，为不共面直线，，两点在上，，两点在上，

且，，如图所示．求证：直线直线．

正确答案

证明见答案

过作平面于，

连结，，．

，平面．

，面，又面，得．

同理：，

为△的垂心，

．

同理可证得，即直线直线．

题型：填空题

填空题

已知a、b是不同的直线，、、是不同的平面，给出下列命题：

①若∥，a，则a∥ ； ②若a、b与所成角相等，则a∥b；

③若⊥、⊥，则∥； ④若a⊥, a⊥，则∥

其中正确的命题的序号是 .

正确答案

①④

试题分析：若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，①正确；两条直线和同一个平面所成的角相等，位置关系不确定，②错误；垂直于同一个平面的两个平面可平行可相交，③错误；

垂直于同一条直线的两个平面平行，④正确.

题型：填空题

填空题

已知直线、，平面、,给出下列命题:

①若，且，则 ②若，且，则

③若，且，则 ④若，且，则

其中正确的命题的个数为 _ _.

正确答案

1个.

①正确，是利用向量法求二面角的依据.②错.③错.并不能证明,所以是错误的.④,,所以.正确的个数为1个

题型：简答题

简答题

如图所示，四棱锥,底面是边长为的正方形，⊥面，,过点作,连接．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若面交侧棱于点，求多面体的体积.

正确答案

（Ⅰ）略；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）利用线线垂直证明线面垂直；（Ⅱ）利用椎体体积公式，找高求面积.

试题解析：（Ⅰ）证明：PA⊥面ABCD,BC在面ABCD内，

∴ PA⊥BC BA⊥BC,PA∩BA=A,∴BC⊥面PAB，

又∵AE在面PAB内∴ BC⊥AEAE⊥PB,BC∩PB="B,"

∴AE⊥面PBC又∵PC在面PBC内AE⊥PC, AF⊥PC, AE∩AF="A,"

∴PC⊥面AEF 6分

（Ⅱ） PC⊥面AEF, ∴ AG⊥PC, AG⊥DC ∴PC∩DC=C AG⊥面PDC,

∵GF在面PDC内∴AG⊥GF△AGF是直角三角形，

由（1）可知△AEF是直角三角形，AE=AG=,EF=GF= ∴, 又AF=,∴, PF=

∴ 13分

题型：填空题

填空题

如图所示,E、F分别是正方形SD1DD2的边D1D、DD2的中点沿SE,SF,EF将其折成一个几何体,使D1,D,D2重合,记作D。给出下列位置关系:①SD⊥面DEF; ②SE⊥面DEF; ③DF⊥SE; ④EF⊥面SED,其中成立的有

正确答案

①③

解：由题意因为SD⊥DF，SD⊥DE，DE⊥DF，DE=DF

显然①正确；②错误；③正确；④错误．

故答案为：①与③

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