热门试卷

（Ⅰ）证法一：在四棱锥P-ABCD中，取PC的中点F，连接EF、FB，

因为E是PD的中点，所以EFCDAB，…（2分）

所以四边形AEFB是平行四边形，…（3分）

则AE∥FB，

而AE⊄平面PBC，FB⊂平面PBC，…（5分）

∴AE∥平面PBC．　　　　　　　　　　…（6分）

证法二：如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

设PB=t，则P（0，0，t），D（-1，2，0），C（1，2，0），A（-1，0，0），

所以E（-，1，），，…（2分）

设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，所以，即

取y=-1，得到平面PBC的法向量为=（2，-1，0）．

所以=0，而AE⊄平面PBC，则AE∥平面PBC．…（6分）

（Ⅱ）解：同（Ⅰ）法二建立空间直角坐标系，

设PB=t（t＞0），则P（0，0，t），D（-1，2，0），C（1，2，0），

所以=（-1，2，-t），=（1，2，0），

则||=，||=，…（9分）

由已知异面直线BC与PD成60°角，所以•==，

又•=-1×1+2×2+（-t）×0=3，

所以=3，解得t=，即PB=，

所以侧视图的面积为S=×2×=．…（13分）

解：（1）以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A1（6，0，6）、C1（0，6，6），设AE=m，则E（6，m，0），F（6-m，6，0），

从而、，

∵，

所以A1F⊥C1E（4分）．

（2）①当A1、E、F、C1共面时，

因为底面ABCD∥A1B1C1D1，

所以A1C1∥EF，

所以EF∥AC，

从而E、F分别是AB、BC的中点（7分），

设D1到直线C1E的距离为h，

在△C1D1E中，，

，

解得（7分）．

②由①得，E（6，3，0）、F（3，6，0），

设平面A1DE的一个法向量为，

依题意，

所以，

同理平面C1DF的一个法向量为，

由图知，面A1DE与面C1DF所成二面角的余弦值

证明：（1）连接BG，则

=

由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面，（其中）

（2）因为．

所以EH∥BD，又EH⊂面EFGH，BD不在 面EFGH

所以BD∥平面EFGH．

（3）连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG

由（2）知，同理，所以，

EH∥FG，EH=FG，所以EG、FH交于一点M且被M平分，

所以

=