用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
共1400题

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题型：简答题

简答题

如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA1垂直于底面ABC，AA1=，D是CB延长线上一点，且BD=BC.

（1）求证：直线BC1∥平面AB1D；

（2）求二面角B1-AD-B的大小；

（3）求三棱锥C1-ABB1的体积。

正确答案

（I），又，

四边形是平行四边形，。

又平面，平面，

直线平面

（Ⅱ）过作于，连结

平面，，

是二面角的平面角。

，是的中点，。

在中，

，即二面角的大小为60°

Ⅲ）过作于，

平面，平面平面，

平面且为点到平面的距离。

，

。

分析：（1）根据三棱柱的性质，可以证出BC∥DB，结合线面平行的判定定理可以证出直线BC∥平面AB1D；

（2）过B作BE⊥AD于E，连接EB，根据三垂线定理得∠BEB是二面角B-AD-B的平面角．在Rt△BBE中，利用三角函数的定义可算出∠B1EB=60°，即二面角B-AD-B的大小为60°．

（3）过A作AF⊥BC于F，利用面面垂直的性质定理，可得AF⊥平面BBCC，即AF等于点A到平面BCB的距离．利用等边三角形计算出AF的长为，结合三角形BCB的面积等于，用锥体体积公式可以算出三棱锥C-ABB的体积．

解答：解：（1）∵CB∥CB，且BD=BC=BC，

∴四边形BDBC是平行四边形，可得BC∥DB．

又BD?平面AB1D，BC?平面ABD，

∴直线BC∥平面ABD

（2）过作于，连结

平面，，

是二面角的平面角。

，是的中点，。

在中，

，即二面角的大小为60°

(3）过作于，

平面，平面平面，

平面且为点到平面的距离。

，

。

点评：本题以一个特殊正三棱柱为载体，适当加以变化，求三棱锥的体积并求二面角的大小，着重考查了空间线面平行的判定、面面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．

题型：简答题

简答题

如图，四棱锥的底面为一直角梯形，其中，底面，是的中点．

（1）试用表示，并判断直线与平面的位置关系；

（2）若平面，求异面直线与所成角的余弦值．

正确答案

解：设，建立如图所示空间直角坐标系，

，,

，. ……（2分）

（1），，

所以， ……（5分）

平面，平面. ……（7分）

（2）平面，，即.

，，即. ……（10分）

， ……（11分）

，

所以异面直线与所成角的余弦值为. ……（14分）

略

题型：填空题

填空题

已知三点不共线，为平面外任一点，若由确定的一点与三点共面，则 .

正确答案

试题分析：由题意A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外一点，

若由向量

确定的点P与A，B，C共面，则，解得λ=

故答案为。

点评：简单题，利用向量判断四点共面的条件，确定得到λ的方程。

题型：简答题

简答题

．(本题14分)已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)

⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；

⑵若向量分别与向量垂直，且＝，求向量的坐标。

正确答案

（1）

（2）a＝(1,1,1), a＝(－1，－1，－1)

解：⑴

∴∠BAC＝60°，

⑵设a＝(x,y,z)，则

解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1,1,1), a＝(－1，－1，－1).

题型：简答题

简答题

如图，在三棱锥中，是正三角形，，D是的中点，二面角为120，，.取AC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，BD交z轴于点E.

（I）求B、D、P三点的坐标；

（II）求异面直线AB与PC所成的角；

正确答案

（I）B的坐标是；点D的坐标是；点P的坐标是；

（II）异面直线AB与PC所成的角是；

（I）是AC的中点，且AC=AB=BC=2，，于是，点B的坐标是；又平面轴，且平面与二面角两个面的交线分别是、，就是二面角的平面角，于是且，又，，，

所以，点D的坐标是即；

点P的坐标是即；

（II），，，

所以，异面直线AB与PC所成的角是；

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