用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
共1400题

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题型：填空题

填空题

若直线l经过点A（-1，1），且一个法向量为=（3，3），则直线方程是______．

正确答案

设直线的方向向量=(1，k)

∵直线l一个法向量为=（3，3）

∴•=0

∴k=-1

∵直线l经过点A（-1，1）

∴直线l的方程为y-1=（-1）×（x+1）即x+y=0

故答案为x+y=0

题型：简答题

简答题

如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝，M是线段B1D1的中点．

(1)求证：BM∥平面D1AC；

(2)求证：D1O⊥平面AB1C；

(3)求二面角B-AB1-C的大小．

正确答案

60°.

(1)证明　建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1,1,0)、D1(0,0，)，

∴＝(－1，－1，)，

又点B(2,2,0)，M(1,1，)，

∴＝(－1，－1，)，

∴＝，又∵OD1与BM不共线，

∴OD1∥BM.

又OD1⊂平面D1AC，BM⊄平面D1AC，

∴BM∥平面D1AC.

(2)证明　连接OB1.∵·＝(－1，－1，)·(1,1，)＝0，·＝

(－1，－1，)·(－2,2,0)＝0，∴⊥，⊥，即OD1⊥OB1，OD1⊥AC，又OB1∩AC＝O，∴D1O⊥平面AB1C.

(3)解　∵CB⊥AB，CB⊥BB1，∴CB⊥平面ABB1，∴＝(－2,0,0)为平面ABB1的一个法向量．由(2)知为平面AB1C的一个法向量．

∴cos〈，〉＝，∴与的夹角为60°，即二面角B-AB1-C的大小为60°.

题型：填空题

填空题

若直线l与直线2x+5y-1=0垂直，则直线l的方向向量为______．

正确答案

直线l与直线2x+5y-1=0垂直，

所以直线l：5x-2y+k=0，

所以直线l的方向向量为：（2，5）．

故答案为：（2，5）

题型：填空题

填空题

直线l过点（-3，1），且它的一个方向向量=(2，-3)，则直线l的方程为______．

正确答案

设直线l的另一个方向向量为=(1，k)，其中k是直线的斜率

可得=(2，-3)与=(1，k)互相平行

∴=⇒k=-

所以直线l的点斜式方程为：y-1=-（x+3）

化成一般式：3x+2y+7=0

故答案为：3x+2y+7=0

题型：简答题

简答题

如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，平面，，，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）若以为坐标原点，射线、、分别是轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得是平面的法向量，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

正确答案

（1）参考解析；（2）

试题分析：（1）需证明平面，转化为证明AD⊥AC,AD⊥PA.因为PA垂直平面ABCD，由题意可得AD⊥AC,AD⊥PA显然成立，即可得结论.

（2）如图建立空间直角坐标系，因为是平面的法向量，所以求出平面PAF的法向量，再根据两平面的法向量的夹角的余弦值，即可得到平面与平面所成锐二面角的余弦值，

试题解析：. (1) 证明方法一：四边形是平行四边形，平面，又，，

平面.

方法二：证得是平面的一个法向量，平面.

(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面一个法向量为，

又平面法向量为，所以

所求二面角的余弦值为.

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